数组所有子集中的最大 OR 值

Question

给定一个包含 n 个整数的数组。在给定数组的所有子集中找到具有最大 OR 值的子集的最小长度。

如何解决这个问题？

Answer 1

最大的 OR 只是所有项目的 OR，唯一真正的问题是找到与该值 OR 的最小子集。

这是 Set Cover 问题的搜索版本，从某种意义上说，它显然可以通过将其视为 Set Cover 的搜索版本的实例来解决，从某种意义上说，您可以在其中编写一个 Set Cover 实例这个问题的术语，所以它是 NP 难的（不是 NP 完全的，因为它不是一个决策问题）。

您可以使用整数线性规划、SAT 求解（由于 SAT 不优化需要多次查询）、动态规划以及毫无疑问的其他技术来解决这个问题。

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例如，要使用 DP，我们可以执行以下操作，假设 WLOG^* 输入数组 (A) 的 OR 是 m，它是 2 的幂减 1。（* 因为任何始终为 0 的位位置都可以忽略并从问题中删除，而不会更改结果子集）

建立一个大小表S 使得S[i][x] 是覆盖掩码x 的A[0..i] 的最小子集的大小。

S[0][0] = 0
for x in 1..m+1:
    S[0][x] = n+1
for i in 0..n:
    for x in 0..m+1:
        S[i+1][x] = min(S[i][x & ~A[i]] + 1, S[i][x])

最小覆盖的大小在S[n][m] 中找到，覆盖本身可以用通常的“向后路径跟踪”方法重建。如果min 导致其左操作数对应于包括项目i，如果min 导致其右操作数对应于不 包括项目i，如果它不明确，则任一路径都将导致同样好的解决方案。

与基于 SAT 或 ILP 的算法不同，此算法无法利用问题实例可能具有的任何有用结构。