从所有子集中恢复原始数组

Question

你得到一个数组的所有子集和。然后，您应该从提供的子集总和中恢复原始数组。

保证原始数组中的每个元素都是非负数且小于 10^5。原始数组中的元素不超过 20 个。原始数组也已排序。输入保证有效。

示例 1

如果提供的子集总和是这样的：

0 1 5 6 6 7 11 12

我们可以快速推断出原始数组的大小为 3，因为有 8 (2^3) 个子集。上述输入的输出（即原始数组）是这样的：

1 5 6

示例 2

输入：

0 1 1 2 8 9 9 10

输出：

1 1 8

我尝试了什么

由于保证所有元素都是非负的，因此输入中的最大整数必须是数组的总和。但是，我不确定如何从那里开始。按照逻辑，我认为下一个 (2^2 - 1) 最大的子集总和必须包括数组中除一个元素之外的所有元素。

但是，当原来的数组是这样的时候，上面的逻辑就不行了：

1 1 8

这就是为什么我被卡住并且不确定如何继续。

Answer 1

这是一个简单的算法，不需要找出哪个子集总和等于给定数字。

S ← 输入序列
X ← 空序列

虽然 S 有一个非零元素：

1. d ← S 中第二小的元素（最小的总是零）
2. 在 X 中插入 d
3. N ← 空序列
4. 当 S 不为空时：
   • z ← S 的最小元素
   • 从 S 中同时删除 z 和 z+d（如果 S 不包含 z+d，这是一个错误；如果有多个，则只删除 z 和 z+d 的一个实例）。
   • 在 N 中插入 z。
5. S ← N

输出 X。

Answer 2

假设 S 是子集和数组，A 是原始数组。我假设 S 已排序。

|A| = log2(|S|)
S[0] = 0
S[1] = A[0]
S[2] = A[1]
S[3] = EITHER A[2] OR A[0] + A[1].

一般来说，S[i] for i >= 3 要么是 A 的一个元素，要么是你已经遇到过的 A 的元素的组合。在处理 S 时，对于生成给定数字的 A 的每个已知元素组合跳过一次，将任何剩余的数字添加到 A。当 A 达到正确的大小时停止。

例如，如果 A=[1,2,7,8,9] 那么 S 将包括 [1,2,1+2=3,...,1+8=9, 2+7=9, 9，...]。在处理 S 时，由于 1+8 和 2+7，我们跳过了两个 9，然后看到我们知道必须属于 A 的第三个 9。

例如，如果 S=[0,1,1,2,8,9,9,10] 那么我们知道 A 有 3 个元素，A 的前 2 个元素是 [1,1]，当我们得到到 2 我们跳过它，因为 1+1=2，我们追加 8 并完成，因为我们有 3 个元素。