给定一个仅包含 1 和 0 的字符串，返回大于 0 的子字符串的数量

Question

假设 S 是一个只包含 0 和 1 的字符串，我想统计 S 中 0 的个数小于 1 的个数的非空子串的个数。

使用下面给出的蛮力方法，我们可以有一个算法在 O(n^2) 内解决这个问题：

moreOnes(s):
count = 0
n = s.len()

for i = 1 to n
    one = 0
    zero = 0
    for j = i to n
        if s[i] == '1'
            one++
        else
            zero++
        
        if one > zero
            count++

return count

但是我们能不能有一个算法具有更好的时间复杂度 O(n*logn) 或 O(n)，空间复杂度从 O(1) 到 O(n)？

Answer 1

考虑一个数组 A[i]，它包含范围 1..i 中的 1 的数量减去范围 1..i 中的零的数量。

使用此数组，现在只需 O(1) 时间即可通过计算 A[j]-A[i-1] 来计算 i..j 中子字符串中 1 的数量减去零的数量。

对于给定的端点 j，您希望找到所有起点 iA[j]-A[i-1]>0。等效地，您想知道有多少 A[i-1] 的值小于 A[j]。

这可以通过Fenwick trees 解决：

1. 循环 j
2. 在 Fenwick 树中的位置 A[j] 添加 1
3. 从 Fenwick 树中查找累积值，范围最大为 A[j]-1 - 这是以 j 结尾并满足多于零的所需属性的子字符串的数量。

这将占用 Fenwick 树的 O(n) 空间和 O(nlogn) 时间，因为每次查找都是 O(logn)。

（请注意，A[j] 可能会变为负数，而 Fenwick 树通常使用正数数据。您可以通过将 n 的恒定偏移量添加到 A[j] 来解决此问题，因此所有条目都是正数。）