该算法的复杂度如何为 O(n^2)？答案

【问题标题】：How does this algorithm have complexity of O(n^2)?该算法的复杂度如何为 O(n^2)？
【发布时间】：2023-03-16 20:48:01
【问题描述】：

设v为树T的一个节点。节点v的深度可以定义如下：

基于上述定义，递归算法深度，如下面的算法所示，通过在 v 的父节点上递归调用自身，并将返回的值加 1 来计算 Tree 的节点 v 的深度。

一棵树 T 的高度等于 T 的外部节点的最大深度。虽然这个定义是正确的，但它不会导致一个有效的算法。事实上，如果我们将上述深度查找算法应用于树 T 中的每个节点，我们将推导出一个 O(n²) 时间的算法来计算 T 的高度。

根据上面的说法怎么可能是O(n²)？如果我们在每个外部节点上尝试这个算法，那么它需要 O(n)，并且找到最大值需要 O(n)。所以总复杂度应该是O(n)+O(n) = O(2n)==O(n)吧？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

算法的最坏情况是不平衡的树。例如如下图所示的一棵树：

上面的树有 5 个外部节点和 5 个内部节点，所以正好有一半的节点是外部节点。从 A 开始，有一个父级。从B开始，有2个，以此类推。所以访问的父母（P）总数为1+2+3+...+(n/2)。

使用formula for the sum of natural numbers 我们有P = (n/2)(n/2 + 1)/2 = (n^2 + 2n)/8。忽略常数因子 (8) 和次要项 (2n)，我们看到 P 为 O(n^2)。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果我们在每个外部节点上都尝试这个算法，那么它需要 O(n)

这是不正确的。您将应用算法n 次，其中每个调用需要O(n) 时间，这导致总共O(n^2) 时间。

这当然是假设没有缓存/记忆结果（所以我们做了很多重复的工作）。如果有，那确实是O(n)。

【讨论】：

如果你应用memoization，那么你必须考虑你不能直接说它是O(n)的边数。相反，它应该是 O(n+E)，因为我们不知道 n 和 E 中的哪一个占主导地位，因为它们都是 1 次方。
它是一棵树，所以根据定义它有N-1条边@Mateen
啊！是的！但对于算法的泛化仍然适用。

【解决方案3】：

在渐近符号中，n^2 可能意味着，对于每个节点，您访问的节点数量可变，最大 n 或 n - 1。让我们考虑一下：

当你为节点1调用递归函数时，它立即返回，但是当你为节点5调用它时，你需要重新计算所有节点的深度直到node 1，这意味着您访问了所有其他节点，因为您没有使用 memoization。因此，对于您正在访问 [1 到 n-1] 个节点的每个节点。

【讨论】：