将一个由两个单词表示的数字除以一个由一个表示的数字？ [复制]答案

【问题标题】：Dividing a number represented by two words by a number represented by one? [duplicate]将一个由两个单词表示的数字除以一个由一个表示的数字？ [复制]
【发布时间】：2017-07-10 01:57:05
【问题描述】：

我有两个数字，X 和 Y。

Y 是单个无符号整数原语，例如long unsigned int。（在这种情况下，在执行操作之前没有更大的原语向上转换。）

X由两个原语表示：X0与Y同类型，表示X的低位，X1同类型，表示X的高位。

X / Y 将始终使用与 Y 相同的类型来表示，即可以假设操作不会溢出。（因为 X 是与 Y 相同类型的两个值的乘积，其中一个值小于或等于 Y。）

确定除法结果的有效方法是什么？

【问题讨论】：

只是一个想法。您可以使用它运行：c = hi_x / y * 2 ^ 64 + lo_x / y; 但您需要考虑hi_x / y 和lo_x / y 是否没有休息。现在想不出来。为时已晚。
我在您的其他主题中提供了类似问题的链接和解决方案（重复）
“高效方式” 速度高效？代码效率高？什么平台？平台是否包含有效的unsigned 除法和有效的unsigned 乘法。 unsigned long 是两次 unsigned 宽度吗？发布您尝试过的内容，即使只是 x/y 以及在“效率”方面与替代代码相比如何。
你应该发布你尝试过的低效方法。
可能是这个链接？ stackoverflow.com/questions/1870158/…

标签： c math integer division

【解决方案1】：

您没有指定平台，这对答案至关重要。

X / Y 将始终使用与 Y 相同的类型来表示，即操作可以假设不会溢出。（因为 X 是同一类型的两个值的乘积为Y，其中一个小于或等于Y。）

在 x86-64 架构上，您可以利用这一事实，通过除以 RDX:RAX 对，因此它实际上与您将一个“粘合”的 128 位寄存器用于除数相同。但请注意，如果上述不变量并不总是成立，那么您将从 CPU 获得 除法异常。

也就是说，一种实现是使用内联汇编，例如：

/* divides x1:x0 pair by y, assumes that quotient <= UINT64_MAX  */
uint64_t udiv128_64_unsafe(uint64_t x0, uint64_t x1, uint64_t y)
{
    __asm__ (
        "divq\t%3"
        : "=a" (x0)
        : "0" (x0), "d" (x1), "rm" (y)
    );
    return x0;
}

哪个 GCC 6.3.0 翻译得很好（-O1）：

udiv128_64_unsafe:
        mov     rcx, rdx            ; place the y (divisor) in RCX 
        mov     rax, rdi            ; low part of the dividend (x0)
        mov     rdx, rsi            ; high part of the divided (x1)
        divq    rcx                 ; RAX = RDX:RAX / RCX
        ret                         ; RAX is return value

例如，对于X = 65454567423355465643444545、Y = 86439334393432232：

#include <stdio.h>
#include <inttypes.h>

uint64_t udiv128_64_unsafe(uint64_t x0, uint64_t x1, uint64_t y) { ... }

int main(void)
{
    printf("%" PRIu64 "\n", udiv128_64_unsafe(0x35c0ecb3fea1c941ULL, 0x36248bULL,
        86439334393432232ULL));
    return 0;
}

给定的测试驱动程序产生：

757231275

【讨论】：

【解决方案2】：

gcc 具有用于 x86 架构的 __int128 和 unsigned __int128。我过去曾成功使用它来执行您描述的此类操作。我相信所有主要的编译器都有对应的。

【讨论】：

我没有这个选项。
@Pineapple 为什么？

【解决方案3】：

“将 2 位数字除以 1 位，给出 1 位商和余数”是合成更大除法所需的基本原语。如果您的硬件中没有它（使用 digit == unsigned long int），则需要使用较小的数字。

在您的情况下，将 Y 拆分为 2 个半长整数，将 X 拆分为 4 个半长整数，然后以这种方式进行除法。

【讨论】：

这是我最终追求的方法 - 当我有机会完成代码时，我会发布解决方案。
@Pineapple：您需要正确舍入的商吗？如果不是，那么牛顿的方法可能比完整的多词划分更快、更容易。诚然，Knuth 的算法 D 在这种有限的情况下确实有所简化，但我的口味仍然有点复杂。