从大小为 N 的数组中生成一组 M 个元素的概率 [重复]

Question

我正在尝试了解以下任务的解决方案： 从一个大小为 N 的数组中随机生成一组 M 个元素。每个元素被选中的概率必须相等。

我找到了以下解决方案（我已经阅读了this question和this one，但我仍然有一些问题对于cmets来说太长了）：

int rand(int min, int max) { 
  return min + (int)(Math.random() * (max - min + 1));
}

int[] generateSet(int[] arr, int m, int n) {
    if (n + 1 == m) { //base case
        int[] set = new int[m];
        for (int k = 0; k < m; k++) {
            set[k] = arr[k];
        }
        return set;
    }

    int[] set = generateSet(arr, m, n - 1);
    int r = rand(0, n);
    if (r < m) set[r] = arr[n];
    return set;
}
// rand() function returns inclusive value 
// i.e. rand(0, 5) will return from 0 to 5

此代码可在“破解编码面试”一书中找到（困难部分，任务 3）。 作者解释如下：

假设我们有一个算法可以从大小为n - 1 的数组中随机抽取一组m 元素。我们如何使用该算法从大小为n 的数组中提取一组随机的m 元素？我们可以首先从第一个n - 1 元素中拉出一组大小为 m 的随机数。然后，我们只需要决定是否应该将array[n] 插入到我们的子集中（这需要从中提取一个随机元素）。一个简单的方法是从 0 到 n 中选择一个随机数 k。如果k < m，则将array[n] 插入subset[k]。这将“公平地”（即以比例概率）将array[n] 插入子集中并“公平地”从子集中删除一个随机元素。 这甚至更清洁迭代编写。在这种方法中，我们将数组子集初始化为原始中的第一个 m 元素。然后，我们遍历数组，从元素m 开始，将array[i] 插入到（随机）位置k 的子集中，只要k < m。

我完全理解基本情况。它说：如果我们有一个大小为N 和M == N 的数组，因此，我们应该从数组中返回第一个M 元素，因为每个元素都会被选中等概率。

然后是我根本不理解的困难部分（递归案例）。

1. 代码从大小为N - 1 的数组生成大小为M 的集合
2. 现在代码应该决定是否将“新”元素 arr[N] 添加到集合中

3. M / N 代码决定是否添加“新”元素。随机作品如下：

   1. 在0和N之间生成随机数r
   2. 如果(r < m) 表示r 是用M / N 概率生成的
   3. 另外，如果(r < m) 意味着1 / M 的概率我们将更改集合中的M 个元素之一。

更新：

我不明白以下内容： 想象一下，我们有一个包含 N - 1 个元素的盒子。我们从中提取 M 个元素。因此，得到一组元素的概率为：

Pa(get any set with M elements using N-1 elements) = 1 / ((N-1)! / M!(N-1-M)!) = M!(N-1-M)!) / (N-1)!

很明显，如果我们将所有元素放回盒子中，而不是再次取出 M 个元素，我们将始终创建一个等概率的集合。

好的，假设我们采用 M 个元素。因此，框现在包含N-1-M 元素。

所以这是递归案例的开始： 现在我们从我们的口袋中取出一个作为新元素。现在我们应该决定是否修改集。

从这一点开始，我完全不明白下一步该做什么。我的猜测：

当我们有 N-1 个元素时，生成任何包含 M 个元素的集合的概率为：

Pa(get any set with M elements using N-1 elements) = M!(N-1-M)!) / (N-1)!

但是我们又添加了一个新元素。现在我们应该生成任何 M 个元素的集合，其概率必须等于Pa。 但现在新的概率是：

Pb = 1 / (N! / !M(N-M)!) = M!(N-M)!) / N!

所以我们需要找到一种方法以某种方式将Pb转换为Pa，即

!M(N-M)!) / N! 到 !M(N-1-M)!) / (N-1)!

并通过一些魔术（我仍然不明白它是如何工作的）递归案例来做到这一点：

1. 调用 R = rand(0, X)（我不知道 X 是什么）。如果 R 等于某个 Y（我不知道 Y 值是多少），这意味着我们应该使用我们的新元素。

2. 如果 R 等于 Y，则调用 rand(0, M) 以生成将使用新元素更新的索引

问题： 1. X和Y值如何计算？

Answer 1

有choose(n, m) = n! / (m! (n-m)!) 方法可以从包含n 元素的集合中选择m 元素。您想以相同的概率选择这些安排中的任何一种。

您有两种选择是否将给定元素取为 not：

1. 选择“this”元素，并从n-1元素中选择m-1元素；
2. 或不选择“this”元素，而是从n-1 元素中选择m 元素。

您必须以一种可以产生任何频率相同的安排的方式做出选择

P(pick) = (# arrangements which pick "this" element) / (# arrangements)
        = (# arrangements which pick "this" element) / (# arrangements which pick "this" element + # arrangements which do not pick "this" element)
        = A / (A + B)

为了符号方便，引入A 和B。

A = choose(n-1, m-1) 
  = (n-1)! / (m-1)!(n-m)!

B = choose(n-1, m) 
  = (n-1)! / m!(n-m-1)!

将A和B的分子和分母相乘，使它们的公因数为(n-1)! / m!(n-m)!：

A = m     * (n-1)! / m!(n-m)!
B = (n-m) * (n-1)! / m!(n-m)!

然后：

P = m / (m + n - m)
  = m / n

根据需要。