大随机字符串的正态分布答案

【问题标题】：Normal distribution of large random strings大随机字符串的正态分布
【发布时间】：2014-10-08 16:48:16
【问题描述】：

在编码理论中我遇到了一个问题：

从F(2,n)的一个字段中选择两个随机字符串，即每个位只能取0和1，字符串长度为n位。

现在，我们想知道两个字符串之间不同位数的分布。（即汉明距离）

实验表明它非常接近0.5，并且分布是正态分布。有什么方法可以证明这一点吗？

（简单模型就像，我将两个硬币扔 n 次并计算差异的数量，例如 0.49n；然后重复这个实验足够大的 k 次。这个差异数量在 k 上的分布是什么？）

【问题讨论】：

你好，这个问题对 math.stackexchange.com 有好处
这个问题似乎离题了，因为它纯粹是关于统计数据，与编程无关

标签： random distribution probability random-sample

【解决方案1】：

不同位的个数是一组自变量（即一个指示变量，不同为1，相同为0）的总和，它们的方差都是有限的；因此该数字的分布近似为高斯分布，并且随着n 的增加而变得更加高斯。

确切的分布是二项式的，因为它是具有恒定概率的独立 0/1 变量的总和（指标变量都具有相同的概率，即指标=1 为 1/2，指标=0 为 1/2） .

我正在凭记忆工作；未经本人验证，请勿接受此答案。

【讨论】：

【解决方案2】：

令 X 和 Y 是独立的随机变量，其值是从长度为 n 的二进制字符串集合中统一抽取的：X, Y ~ U({0,1}ⁿ)。

令 d(X, Y) 为汉明距离。

那么 d(X, Y) 是一个从Binomial distribution 中抽取的随机变量，有 n 个可能的事件，每个事件的概率 p = 0.5: d(X, Y) ~ B(n, 0.5)。

它的期望是 0.5 × n。

其标准差为 0.5 × √n。

【讨论】：

【解决方案3】：

如果位以 1/2 的概率得到 0 或 1 独立绘制，则位置 k 的一致性可以以第一个字符串的第 k^th 位置的结果为条件 -无论是 0 还是 1，第二个字符串都有 1/2 的匹配概率。这使得 p=1/2 的逐位分布Bernoulli。汉明距离是这些伯努利结果的总和，n 个独立伯努利的总和具有binomial(n,p) 分布——这是一个精确的结果。你的实验应该产生 n/2 的平均值和 np(1-p) 或 n/4 的方差。 Central Limit Theorem 告诉我们二项分布将收敛到正态分布，即 n --> 无穷大。工程经验法则是，当 np > 10 和 n(1-p) > 10 时，近似值就足够了。

【讨论】：