如何使用 Python 从 3-D 椭圆体生成点的随机样本？答案

【问题标题】：How to generate a random sample of points from a 3-D ellipsoid using Python?如何使用 Python 从 3-D 椭圆体生成点的随机样本？
【发布时间】：2019-10-17 15:40:43
【问题描述】：

我正在尝试从 3-D 椭球中均匀地采样大约 1000 个点。有没有什么方法可以编码，这样我们就可以从椭球方程开始得到点？

我想要椭球表面上的点。

【问题讨论】：

相关：math.stackexchange.com/questions/973101/…
请说明您是否希望这些点位于椭圆体内部或在椭圆体表面。内部可能很容易，但表面上要困难得多。
假设在里面，这本质上是stackoverflow.com/questions/5408276/…的副本。那是关于在球体内进行采样，但是任何椭球体只是仿射变换下的球体图像，并且仿射变换将保持均匀性。同意@RoryDaulton 在表面上均匀采样是一个非常困难的问题。请说明您的需求！
另外，请你举个例子来说明你对这个特定问题的“椭球方程”的意思吗？一般来说，有许多不同的方法来指定一个椭球体。
“椭球方程”是指Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 ?

标签： python math random geometry ellipse

【解决方案1】：

考虑使用蒙特卡罗模拟：生成一个随机的 3D 点；检查该点是否在椭球内；如果是，请保留它。重复直到获得 1,000 分。

附注由于 OP 改变了他们的问题，这个答案不再有效。

【讨论】：

【解决方案2】：

J.F. Williamson，“随机选择分布在曲面上的点”，Physics in Medicine & Biology 32(10)，1987，描述了在参数表面上选择均匀随机点的一般方法。它是一种接受/拒绝方法，根据其拉伸因子（梯度范数）接受或拒绝每个候选点。要将这种方法用于参数曲面，必须了解有关曲面的几件事，即——

x(u, v)、y(u, v)和z(u, v)，它们是从二维坐标u和v生成3维坐标的函数，
u和v的范围，
g(point)，曲面上每个点的梯度范数（“拉伸因子”），以及
gmax，整个表面的最大值g。

那么算法是：

在曲面上生成一个点，xyz。
如果g(xyz) >= RNDU01()*gmax，其中RNDU01() 是[0, 1) 中的一个统一随机数，则接受该点。否则，请重复此过程。

Chen 和 Glotzer (2007) 在“用于细长病毒衣壳形成的现象学模型的模拟研究”中将该方法应用于长球体（一种椭圆体）的表面，arXiv：cond-mat/0701125 [cond- mat.soft]。

【讨论】：

【解决方案3】：

这是一个通用函数，用于在球体、椭球体或任何具有 a、b 和 c 参数的三轴椭球体的表面上选取一个随机点。请注意，直接生成角度不会提供均匀分布，并且会导致沿 z 方向的点数量过多。相反，phi 是随机生成的 cos(phi) 的倒数。

    import numpy as np
    def random_point_ellipsoid(a,b,c):
        u = np.random.rand()
        v = np.random.rand()
        theta = u * 2.0 * np.pi
        phi = np.arccos(2.0 * v - 1.0)
        sinTheta = np.sin(theta);
        cosTheta = np.cos(theta);
        sinPhi = np.sin(phi);
        cosPhi = np.cos(phi);
        rx = a * sinPhi * cosTheta;
        ry = b * sinPhi * sinTheta;
        rz = c * cosPhi;
        return rx, ry, rz

此功能取自这篇帖子：https://karthikkaranth.me/blog/generating-random-points-in-a-sphere/

【讨论】：

这不只是在球体上创建随机点，重新投影到椭球体吗？如果是，那么为什么结果分布会是均匀的就完全不明显了。其实不然。