从 Fisher 分布中抽取随机值答案

【问题标题】：Drawing random values from a Fisher Distribution从 Fisher 分布中抽取随机值
【发布时间】：2011-05-23 20:58:35
【问题描述】：

在我的研究中，我正在生成用于表示岩石裂缝的离散平面。断裂面的方向由其倾角和倾角方向指定。知道了这一点，我也知道了每个平面的法向量的分量。

到目前为止，我一直在独立于正态分布绘制倾角和倾角方向。这没关系，但我想添加从 Fisher 分布中提取的功能。

描述了费希尔分布 HERE

基本上，我希望能够指定平均倾角和倾角方向（或平均矢量）和“费希尔常数”或分散因子 k，并从该方向分布中随机抽取值。强>

附加信息：“Von Mises-Fisher 分布”似乎与我一直所说的“Fisher 分布”相同，或者在某种程度上相关。关于 Von Mises-Fisher 分布的一些信息：

如您所见，我对此进行了一些研究，但我承认我并不完全理解数学。我觉得我已经很接近了，但还不太明白......非常感谢任何帮助！

如果有帮助，我的程序是在 FORTRAN 中的。

【问题讨论】：

网站上已经有很多关于采样的问题。简短版本：反转 CDF 或拒绝。现有问题：Pseudorandom Number Generator - Exponential Distribution Random number generator that produces a power-law distribution?Probability density function problem, from a paper, implemented using C++, not working as intended How do I generate points that match a histogram?。这些不在 Fortran 中，但数学总是一样的。
看看这两个关于定向数据的参考资料。 Fisher, NI.，循环数据的统计分析，剑桥大学出版社，1993 年。ISBN 0-521-35018-2 Fisher, NI., Lewis, T., Embleton, BJJ。球形数据的统计分析，剑桥大学出版社，1993 年。ISBN 0-521-45699-1
我想我不明白的一件事：在我提供的链接中，分布是根据 theta。所以基本上分布是一维的，所以我不太明白它在 3D 中是如何工作的？例如，我可以模拟一些值 theta，但这会指定平均向量周围的环，而不是实际点。
抱歉，问题的 Fortran 部分在哪里？这似乎是“为我做作业”（尽管作业可能比我们这里的平均水平更有趣）类型的问题。
顺便说一下，Fisher 分布具体是 3 维的，但 von Mises-Fisher 分布可以推广到任意维数。

标签： math statistics geometry fortran computational-geometry

【解决方案1】：

该算法位于 N. I. Fisher、T. Lewis 和 B. J. J. Embleton 的“球形数据的统计分析”的第 59 页。我强烈推荐这本书——它将帮助你理解数学。

以下将生成以北极为中心的随机 Fisher 分布位置。如果您希望它们随机居中，则在球体上产生额外的均匀随机位置，并旋转这些位置以使这些位置居中。如果您不确定这些步骤，请参阅上述书籍。这个 Fortran 代码片段使用了一个随机数生成器，它产生从 0 到 1 的均匀偏差。

  lambda = exp (-2.0 * kappa)
  term1 = get_uniform_random () * (1.0 - lambda) + lambda
  CoLat = 2.0 * asin ( sqrt ( -log (term1) / (2.0 * kappa) ) )
  Long = 2.0 * PI * get_uniform_random ()

【讨论】：

太棒了。谢谢，这个周末我会去拿那本书。

【解决方案2】：

我认为你可以手工计算

将Fisher分布的密度函数积分得到累积分布函数

F(theta)=exp(K cos(theta)))/(exp(k)-exp(-k))
下一步是求逆累积分布函数函数，F^(-1)(y)。该功能满足

F(theta)= y F^(-1)(y) =theta
我认为你得到了以下内容。

F^(-1)(y) = arccos(log((exp(k)-exp(-k))*y)/K)
从区间 [0, 1] 上的均匀分布中画出 y1, y2, y3, y4...
现在，数字 F^(-1)(y1)、F^(-1)(y2)、F^(-1)(y3)、F^(-1)(y4) 将根据Fisher分布进行分配..

【讨论】：

感谢您的帮助，这实际上完全有道理。所以，现在我可以根据 Fisher 分布绘制 theta 的值，但这在 3D 中意味着什么？如果我有一些平均向量 ，绘制一个 theta 值似乎会围绕该向量定义一个圆圈。
您必须使用第二个随机变量来找到圆上的随机点。您应该从 ]0;2*pi 上的均匀分布中绘制此变量。