如何使用固定的行/列总和对数组进行洗牌？答案

【问题标题】：How to Shuffle an Array with Fixed Row/Column Sum?如何使用固定的行/列总和对数组进行洗牌？
【发布时间】：2013-01-14 13:19:18
【问题描述】：

我需要将随机论文分配给班级的学生，但我有以下限制：

每个学生应分配两篇论文。
每篇论文应分配给（大约）相同数量的学生。

是否有一种优雅的方式来生成具有此属性的矩阵？即它被洗牌但行和列的总和是恒定的？举例说明：

Student A   1  0  0  1  1  0 |  3
Student B   1  0  1  0  0  1 |  3
Student C   0  1  1  0  1  0 |  3
Student D   0  1  0  1  0  1 |  3
            ---------------- 
            2  2  2  2  2  2

我想先用正确的行/列总和构建一个“初始矩阵”，然后先随机排列行，然后是列，但是如何生成这个初始矩阵？这里的问题是我将在（例如）以下替代方案之间进行选择，并且有两个学生分配了相同的论文（在左侧设置中）这一事实不会通过行/列改组而改变：

INITIAL (MA):            OR (MB):
A   1  1  1  0  0  0  ||  1  1  1  0  0  0  
B   1  1  1  0  0  0  ||  0  1  1  1  0  0
C   0  0  0  1  1  1  ||  0  0  0  1  1  1
D   0  0  0  1  1  1  ||  1  0  0  0  1  1

我知道我可以想出一些快速/肮脏的东西，并在必要时进行调整，但这似乎是一个有趣的练习。

【问题讨论】：

首先，证明这个命题。令 C 为允许矩阵的集合。 (1) 如果 A 和 B 在 C 中，则存在一系列行/列置换矩阵 P1...Pn 其中 A = P1 P2 ... Pn B。 (2) 如果 B 在 C 中，则对于任何序列行/列置换矩阵 P1...Pn, A = P1 P2 ... Pn B 也在 C 中。由此，您知道初始矩阵是什么并不重要。只需将其设为 n 对角线，角三角形为 1，如示例所示。
这听起来很合理，但你所说的“行/列置换矩阵”是什么意思？在我看来，仅通过改组行和列就无法在我的帖子中从 MA 转到 MB。 IE。总会有两行在相同的地方有 1。我错了吗？
在我看来，在我的帖子中，仅通过随机排列行和列是无法从 MA 转到 MB。 这意味着你盯着它看的时间不够长。您可以使用某种形式的高斯消元法。对于您的示例，请使用 C = [1 0 0 0; 1 0 0 0;0 0 1 0; 0 0 1 0]，然后 C * B = A。
你是对的！但是您的 C 是 不是置换矩阵，因为它在每列中都没有 1？它是否仍然保留行/列总和？（即，您正在从 MB 中“删除”第 2 行和第 4 行）。似乎在纯置换矩阵下 MA 和 MB 属于不同的“组”？
那是因为 A 和 B 不是正方形的。

标签： algorithm math random shuffle

【解决方案1】：

如果你想进行排列，怎么办：

随机选择一个学生，比如学生 1
对于这个学生，随机选择一张他有的论文，比如论文 A
随机选择另一个学生
对于这个学生，随机选择一张他有的论文，比如论文 B（不同于 A）
把试卷 B 给学生 1，把试卷 A 给学生 2。

这样，您既可以保留不同论文的数量，也可以保留每个学生的论文数量。事实上，两个学生都给了一篇论文，并收到了一篇回馈。此外，不会创建或删除任何论文。

就表格而言，这意味着找到两对索引（i1，i2）和（j1，j2）使得A（i1，j1）= 1，A（i2，j2）=1，A（i1， j2)=0 和 A(i2,j1)=0 并且将 0 更改为 1，将 1 更改为 0 => 行和列的总和不会改变。

备注1：如果你不想通过排列进行，你可以简单地将所有纸张放入一个向量（放入2次纸张A，2次纸张B，...）。然后，随机打乱向量并将 k 首先归于第一个学生，将 k 下一个归于学生 2，......但是，您可以以一个学生有多次相同的论文结束。在这种情况下，请从姓氏文件开始进行一些排列。

【讨论】：

您的第一个解决方案似乎不能保证有关列或行总和的任何信息。您的第二个解决方案似乎允许学生两次获得相同的论文，这是不可取的。
@Noio：我改变了我的答案，希望现在更清楚了。对于第二种解决方案，对不起，我不明白不允许多篇论文。我对此发表了评论。
啊，听起来不错。在该操作（“交换”）下，我认为问题中的 MA 和 MB 是等效的。这意味着初始条件无关紧要，所以我可以选择任何东西，然后继续进行许多交换。
是的，MA 和 MB 之间只有一个排列（i1=2，i2=4，j1=1，j2=4）
@Noio：这个答案是否满足您的需求？有什么遗漏吗？

【解决方案2】：

您可以按如下方式生成初始矩阵（伪 Python 语法）：

column_sum = [0] * n_students

for i in range(n_students):
    if column_sum[i] < max_allowed:
        for j in range(i + 1, n_students):
            if column_sum[j] < max_allowed:
                generate_row_with_ones_at(i, j)
                column_sum[i] += 1
                column_sum[j] += 1

                if n_rows == n_wanted:
                    return

这是对所有 n 的直接迭代，选择 2 个不同的行，但尽可能早地强制执行对列总和的约束。

【讨论】：