random() * random() 分布如何？ [复制]答案

【问题标题】：How does random() * random() distribution look like? [duplicate]random() * random() 分布如何？ [复制]
【发布时间】：2013-07-06 03:54:31
【问题描述】：

给定一个函数random()，它返回均匀分布在0和1之间的浮点值。

函数random() * random()的分布类型是什么？

【问题讨论】：

标签： math random distribution

【解决方案1】：

# test.py
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 10**6
plt.hist(np.random.uniform(size=N) * np.random.uniform(size=N), bins=50, normed=True)
plt.show()

运行python test.py 产生：

【讨论】：

【解决方案2】：

类型是Product Distribution，不再统一了。

【讨论】：

【解决方案3】：

变换是 y = x*x。 x 在 0

y 的 CDF 为 Fy(y

现在微分得到 fy(y) = 1/(2*sqrt(y)) 在同一范围内。

编辑：

上述解决方案假设“random() * random()”每次抽签都使用相同的值。相反，如果您希望相乘的值彼此独立，则数学会涉及更多，但仍然易于处理。

现在让

y1 = x1*x2 其中 fx1(x1) = 1 on 0

假设 x1 和 x2 独立，则联合 PDF 为

fx1x2(x1,x2) = fx1(x1)*fx2(x2)。

引入一个额外的变量 y2 来处理 2 变量联合 PDF 的转换。为了更好的计算，让 y2 = x2。

所以我们的系统是

g1(x1,x2) = x1*x2

g2(x1,x2) = x2

在更简单的情况下，我们需要反转函数，现在通过求解 y1 和 y2：

h2(y1,y2) = x2 (= y2)

h1(y1,y2) = y1/x2 = y1/y2

我们需要雅可比行列式

J = (pg1/px1)(pg2/px2) - (pg1/px2)(pg2/x1)

其中“p”是偏导数。

所以在我们的例子中

J = (x2)(1) - (x1)(0) = x2。

转换公式（来自任何介绍微积分的概率文本）是

fy1y2(y1,y2) = fx1x2(x1,x2)/J

在我们的例子中简化为

1/y2 在 0

最后，为了得到 fy1(y1)，我们对不需要的变量 y2 上的联合分布进行积分，注意保持在正确的范围 y1/y2 = 0。

fy1(y1) = (1/y2)dy2 = -ln(y1) 在 0

请注意，在这两种情况下，乘积的分布都偏向于较小的值，因为分数 (0

【讨论】：