如何使用随机数传感器获取数字 e (2.718)？

Question

是否可以使用随机数计算数字 e (2.718)？

Answer 1

这是另一种选择。考虑下面的概率问题：你有一个偏向硬币，正面朝上的概率为 1/n。然后你将硬币翻转 n 次。你从不摇头的概率是多少？嗯，这就是你翻转 n 次的概率，即 (1 - 1/n)ⁿ，随着 n 趋于无穷大，它开始迅速接近 1/e。因此，您可以通过选取一些适中的 n 值来估计 e，模拟以 1/n 的概率出现正面的硬币的 n 次投掷，并查看您是否从不正面朝上。不产生正面的试验比例将接近 1/e，您可以从那里估算 e。

例如，下面的 Python 代码以 1/n 的正面概率翻转硬币总共 n 次（通过对 0 和 1 之间的均匀随机数进行采样来完成）并查看它们是否都是反面：

from random import random
def one_trial(n):
    for i in range(n):
        if random() < 1 / n:
            return False
    return True

然后我们可以运行大量的试验，看看它们中的哪一部分都是尾巴。这个分数大约是 1/e，所以我们只取倒数：

def estimate_e(n, num_trials):
    successes = 0
    for i in range(num_trials):
        if one_trial(n):
            successes += 1
    return num_trials / successes

在 n = 2¹⁰ 和 num_trials = 2²⁰ 的情况下，我得到了估算值

e ≈ 2.7198016257969466，

这还不错。

Answer 2

我假设当您说“使用随机数”时，您的意思是“使用某种随机抽样方案”。如果你想得到无限小数的确切答案，答案是“不，除非你有无限的时间”。但是，我们可以生成期望值为 e 的随机序列，并且可以使用基本统计量来评估采样误差。通过增加样本量，只要您指定所需的置信水平，我们就可以将抽样误差降低到您想要的任何精度。

It turns out that if you sum a bunch of random uniform(0,1)'s until the sum exceeds 1, the quantity of uniforms required has an expected value of e.我们可以通过编写一个方法/函数来返回计数，并取多次调用该方法获得的值的平均值，从而将其转化为采样问题。

您没有指定任何特定的语言，所以这里是 Ruby（实际上类似于伪代码）：

require 'quickstats'    # install from rubygems w/ 'gem install quickstats'

def trial  # generate results of one trial
  count = 0
  sum = 0.0
  while sum < 1.0
    count += 1
    sum += rand  # Ruby's rand produces U(0,1) values by default
  end
  return count  # added "return" keyword for non-rubyists' readability
end

stats = QuickStats.new
10_000_000.times { stats.new_obs trial }  # more precision? bump up sample size
puts "Average = #{stats.avg}"
half_width = 1.96 * stats.std_err
puts "CI half-width = #{half_width}"
deviation = (stats.avg - Math::E).abs
puts "    |E - avg| = #{deviation} (should be ≤ half-width 95% of the time)"

这在我的笔记本电脑上运行不到 4 秒，并产生如下输出：

Average = 2.7179918000002234
CI half-width = 0.0005421324752620413
    |E - avg| = 0.0002900284588216451 (should be ≤ half-width 95% of the time)