密钥选择的均匀随机性的阐述

Question

考虑这个问题：- Efficiently picking a random element from a chained hash table?

并认为这是第一个答案。它提出了一种以均匀随机方式选择密钥的方法。然而，这对我来说还不清楚。第一步将采用1/m 的概率（即从 m 个桶中随机选择一个桶）
而第二步又可以分为两步：
1) 如果k<=p，则返回p。
2) 如果k>p 则循环再次运行。
这会一直执行到 p 返回为止。
所以一个键被选中的概率是：
(1/m)[(k1/L)+((L-k1)/L)[(1/m)[(k2/L)+((L-k2)/L)[(1/m)[(k3/L)+((L-k3)/L)[......and so on.
现在这怎么可能等于1/n？

Answer 1

这是rejection-sampling 的一种形式。

备注：

• 看起来您拆分了两个步骤并仅在第二步以某种方式循环（我对您的计算公式的解释）
• 每次重做所有步骤是算法最重要的方面！
  • 这是拒绝抽样的基本理念：我们正在从某个周围密度进行抽样，如果所选样本不在我们的样本范围内，则需要再次抽样（这是非常非正式的；请阅读上面的链接）

为什么采用这种方法：

• 想象一下，有 2 个桶，其中 b0 有 2 个元素，b1 有 4 个 元素
• 第一步是统一选择一个桶
  • 但由于 b0 的元素数量与 b1 不同，因此 第 2 步 中的实际采样需要以某种方式适应信息关于元素的数量（或者我们将使用均匀性）
  • 我们没有这个完整的信息，我们只得到了所有链上的上限 L
  • 含义：我们使用rejection-idea从ma​​x-range L中采样；如果索引与存储桶兼容，则接受。因此，如果所选存储桶的元素数量是最大存储桶的一半，则需要 50% 的时间将其中止（从步骤 1 重新开始）。 这就像在所有桶中插入假元素，这样元素的数量是恒定的。然后采样，检查是否选择了真元素或假元素，如果击中假元素，则再次执行此操作。
  • 很容易看出：b0 50% 的时间选择了 get；等于 b1
  • 当在 b0 内采样时，进程将在 50% 的时间内中止，因为 k=2, L=4（L 来自b2中元素的大小）
  • 在 b1 内采样时，该过程永远不会中止 (k=L)
  • 如果没有机会中止；我们将选择 b0 中的一个选定元素 2 倍 (L / size-within-b0 = L/2) 的频率是 b1 中的一个，因为桶是统一选择的；但要采样的元素数量不同。