什么解释了 java 中双精度的范围？

Question

我正在学习编程入门课程（java 中），我很想了解为什么 java 中原始数据类型的范围是这样的。当谈到像字节这样的整数数据类型时，似乎很容易理解为什么它只接受 -128 到 127 的值；一个字节的大小为 8 位，最多可以包含 256 个值，因此我们可以为这 256 个值中的每一个分配一个自然数，我相信这就是幕后发生的事情。它还解释了为什么排除 128：我们有 128 个负数、127 个正数和零。这些加起来已经有 256 个。 [1,256] 和 [-128,128] 之间没有双射。

这个想法对于所有类似整数的数据类型的范围都是有意义的，但是当涉及到浮点时，人们会看到一些奇怪的范围。例如 double 的范围是 [-2^{1074},(2-2^{-52})2^{1023}]。为什么会这样？

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我为繁琐的符号道歉，显然我不能在这里使用乳胶。

Answer 1

浮点值和整数值是一样的——可用的位数。

一个IEEE双长浮点值有64位，用法如下：

符号位：1 位
指数：11 位
有效位精度：52 位

有效位是二进制小数，因此最大值（所有位设置）略小于一。

指数的值为 0 到 2047，或 -1024 到 +1023。这为您提供了 2 到 -1024 到 2 到 +1023 的大致范围（实际上它更小，因为有几个值是为特定用途而保留的）。

Wikiipedia for more exact details

Answer 2

Java 使用 IEEE-754 binary64 格式。在这种格式中，1 位表示符号（+ 或 - 取决于该位是 0 还是 1），8 位用于指数，52 位用于有效位的初级编码。 53 位有效数字的一位通过指数编码。

指数字段的值范围从 0 到 2047。2047 保留用于无穷大和 NaN。 0 用于次正规数。值 1 到 2046 用于普通数字。在此范围内，E的指数字段值表示指数e = E-1023。所以e的最小值是1−1023 = -1022，最大值是2046−1023 = 1023。指数字段值0也代表E的最小值em>，-1022。

53 位有效数字表示二进制数字d。ddd…ddd₂，其中第一个d 如果指数字段为 0，则为 0，如果指数字段为 1 到 2046，则为 1。“.”后面有 52 位，它们由主有效位字段给出。

令S为符号位域，E为指数域的值，F为初级有效数的值字段为整数。那么表示的值为：

• 如果E是1到2046，(-1)^S • 2^{E- 1023} • (1 + F•2^-52),
• 如果E为0，(-1)^S • 2^-1022 • (0 + F•2^-52)。

现在我们可以看到，当S为1，E为0，F为1时表示最小的正数（000000000000000000000000000000000000000000000000000012）。那么表示的值为 (-1)⁰ • 2^-1022 • (0 + 1•2^-52) = +1 • 2 ^-1022 • 2^-52 = 2^-1074.

S为1，E为2046，F为2⁵²时表示最大有限数>-1（111111111111111111111111111111111111111111111111111₂）。那么表示的值为 (−1)⁰ • 2^2046−1023 • (1 + (2⁵²−1)•2⁻⁵² = +1 • 2¹⁰²³ • (1 + 1 − 2⁻⁵²) = 2¹⁰²³ • (2 ¹ - 2^-52) = 2¹⁰²⁴ - 2⁹⁷¹。