可构建的 DFA 数量

Question

给定字母表 {0,1} 上的 5 个状态，可以构造多少个 DFA。鉴于初始状态不固定。

Answer 1

对于字母表中的每个符号，DFA 最多可以有一个转换。因此，我们可以通过为状态分配所有有效选项来枚举 DFA。

例如，我将使用以下表示法，即 2 元组的 5 元组，以及 {0, 1} 中符号的转换目标。

((None, 4), (4, 3), (1, None), (None, 0), (3, 3))

这给你一个 FST，它从状态 0 到状态 4（符号 1），从状态 4 到状态 3 到状态（符号 0 或 1），然后从那里回到状态 0（符号1）。但这没有连接，没有使用所有的 5 状态。如果计算所有此类 DFA，答案是 (6^2)^5 = 60466176，因为每个符号都可以带您进入 5 个状态之一或从给定状态中丢失（公式中的 6），有两个符号（2 在公式），有5​​个状态（公式中有5个指数）。

严格 5 个州

如果我们想要一个可以生成 5 个状态的 FST，并且所有状态都可达，那么我们可以生成上述 FST 并过滤那些连接的 FST。

def is_connected(dfa):
    N = len(dfa)
    reached = [False] * N
    nReached = 0
    stack = [0]
    while len(stack):
        s = stack.pop()
        
        if not reached[s]:
            reached[s] = True
            nReached += 1
            if nReached == N:
                return True
            t, u = dfa[s]
            if t is not None:
                stack.append(t)
            if u is not None:
                stack.append(u)
    return False

import itertools
all_dfas = list(itertools.product(
             list(itertools.product([None, 0, 1, 2, 3, 4], 
                   repeat=2)
             ), repeat=5))

num_connected = sum(1 if is_connected(dfa) else 0 for dfa in all_dfas[:])

它给出15184800。

同构

您可以尝试找到与重新标记状态等效的 DFA，因为这不会更改 DFA 定义的语言，通常我们只关注转换而不是状态，但情况似乎并非如此因为您要求考虑所有可能的初始状态。