可数性问题（理论）答案

【问题标题】：Countability Question (Theory)可数性问题（理论）
【发布时间】：2010-10-17 12:30:14
【问题描述】：

我明天要参加 GRE，有一个问题。根据答案键，这个练习测试表明从 N 到 {0, 1} 的所有函数的集合是不可数的。

您不能将自然数映射到这些函数吗，如下所示？

 i   1 2 3 4 5 6 7 8 ...
f0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 ...
f1 = 1 0 0 0 0 0 0 0 ...
f2 = 0 1 0 0 0 0 0 0 ...
f3 = 1 1 0 0 0 0 0 0 ...
f4 = 0 0 1 0 0 0 0 0 ...

也就是说，f4(1)=0，f4(2)=0，f4(3)=1，f4（其他）=0。这最终不会涵盖所有可能的这些功能吗？我们绝对可以将自然数映射到这个集合。

【问题讨论】：

事实上，自然数中 i,j 的元组 (i, j) 的集合绝对是可数的。所以我认为 GRE 弄错了这一点。
@Claudiu：当然 NxN 是可数的，但这不是问题所在。这是关于函数集 N->{0,1}，它绝对不可数（练习：证明这个集合与实数集具有相同的基数）。

标签： count computer-science theory set

【解决方案1】：

您列表中的所有条目都将包含有限数量的条目。在您的列表中，对于所有偶数返回 0 但对于所有赔率返回 1 的函数会出现在列表中的哪个位置，或者总是返回 1 的函数？对角化参数可以表明没有其他编号方案也可以工作。为此，考虑一个在位置 i 处返回 1-(fi(i)) 的函数。那么这个函数至少在一个地方与列表中的每个条目不同，所以它不在列表中。

【讨论】：

有道理，谢谢！但是还有一个问题：为什么元组集是可数的？
给定一个任意元组，您可以为其分配一个唯一的自然数（以一种方式将数字交错），但无法使用您的系统为奇数函数分配一个自然数。跨度>

【解决方案2】：

这是康托尔定理的一部分。见this paper（接近尾声）

【讨论】：

【解决方案3】：

如果这是可数的，那么无理数也必须是可数的。想想你列出的每个二进制十进制函数，你可以将它们与实数 [0, 1) 以 1:1 的比例放置

【讨论】：

【解决方案4】：

由该算法构造的任何函数 f_k 都有有限数量的值 n，使得 f_k(n)=1，但是你有函数 f(odd)=1, f(even)=0，这是一个有效的函数，并且不在此算法可以生成的函数列表中。

一般而言，您可以应用康托尔的对角线论证，如 Dan 所述。如果这样的集合是可数的，那么你有一个可数的函数族 g_1，g_2，...，它们涵盖了整个集合。但是你可以构造一个新函数 h 使得 h(n) != g_n(n)，通过构造 h 不能等于任何 g_k，荒谬！

【讨论】：