了解 Agda 中的分配解决方案

Question

考虑以下提取的代码片段，用于证明 Agda 中变量的“键入唯一性”：

unicity : ∀ {Γ₁ Γ₂ e τ₁ τ₂} →  (Γ₁ ⊢ e ∷ τ₁) → (Γ₂ ⊢ e ∷ τ₂) → (Γ₁ ≈ Γ₂) → (τ₁ ∼ τ₂)
unicity   (VarT here) (VarT here) (_ , ( τ∼ , _ ))   = τ∼ 
unicity (VarT here) (VarT (ski`p {α = α} lk2)) (s≡s' , ( _ , _ )) = ⊥-elim (toWitnessFalse α (toWitness` s≡s'))
unicity (VarT (skip {α = α} lk1)) (VarT here) (s'≡s , ( _ , _ )) = ⊥-elim (toWitnessFalse α (toWitness s'≡s))
unicity (VarT (skip lk1)) (VarT (skip lk2)) (_ ,( _ , Γ≈ ))     = unicity (VarT lk1) (VarT lk2) Γ≈

我需要解释⊥-elim、toWitnessFalse 和toWitness 的工作原理。另外，⊤ 和 ⊥ 的表达是什么意思/代表什么？

Answer 1

⊥ 是空类型，因此（总体而言，一致的语言）你永远不能构造⊥ 类型的值。但是这个also means，你能想到的任何提议，都来自⊥。这就是⊥-elim见证人：

⊥-elim : ∀ {w} {Whatever : Set w} → ⊥ → Whatever

这在实践中非常有用，因为您可能在某些假设下编写证明，其中一些假设可能是 ⊥，或者它们可能是否定陈述（A → ⊥ 对于某些 A），您可以证明A 等等。然后，你发现实际上你不必再关心那个特定的分支了，因为这是不可能的；但是，仅仅因为您不在乎，您仍然必须以某种方式正式满足结果类型。这就是⊥-elim 给你的。

toWitness的类型及相关定义如下：

T : Bool → Set
T true  = ⊤
T false = ⊥

⌊_⌋ : ∀ {p} {P : Set p} → Dec P → Bool
⌊ yes _ ⌋ = true
⌊ no  _ ⌋ = false

True : ∀ {p} {P : Set p} → Dec P → Set
True Q = T ⌊ Q ⌋

toWitness : ∀ {p} {P : Set p} {Q : Dec P} → True Q → P

给定一个Q : Dec P，True Q 是⊤（如果Q = yes _）或⊥（如果Q = no _）。那么，调用toWitness 的唯一方法是让Q 说P 为真并传递平凡的单元构造函数tt : ⊤；唯一的另一种可能性是让Q 说P 是错误的，并将⊥ 作为参数传递，但正如我们所见，这是不可能的。总之，toWitness 表示如果Q 告诉我们P 成立的决定，那么我们可以从Q 获得P 的证明。

toWitnessFalse 与角色反转完全相同：如果Q 告诉我们P 不成立的决定，那么我们可以从Q 获得¬ P 的证明。