图灵机上欧几里得最大公约数算法的复杂性答案

【问题标题】：The complexity of Euclid's greatest common divisor algorithm on a Turing Machine图灵机上欧几里得最大公约数算法的复杂性
【发布时间】：2012-10-21 06:29:36
【问题描述】：

考虑一下欧几里得算法的这个实现：

function gcd(a, b)
    while b ≠ 0
       t := b
       b := a mod b
       a := t
    return a

wikipedia 上的一个很好的证明表明该算法“总是需要少于 O(h) 次除法，其中 h 是较小数字 b 中的位数”。

但是，在图灵机上，计算 mod b 的过程的时间复杂度为 O(a+b)。我的直觉和一些大型测试告诉我，欧几里得算法的复杂度在图灵机上仍然是 O(a+b)。

关于如何证明这一点的任何想法？

【问题讨论】：

顺便说一句：经典的欧几里得算法不知道 mod。那里使用了一个重复的减号。

标签： complexity-theory big-o time-complexity turing-machines greatest-common-divisor

【解决方案1】：

如果我在图灵机上对二进制数实现 GCD，我会实现以下算法。我看不出它会比 O((ln a + ln b)^2) 小多少。我认为最有效的表示方法是在第 2 步之后按位交错两个值。

令 s1 = a 的最低有效位中的零数。删除这些底部 s1 零位。
设 s2 = b 的最低有效位中的零数。删除这些底部 s2 零位。
令 s = min(s1,s2)
现在 a 和 b 都是奇数。如果 b
b >= a。设置 b = b - a，然后从 b 中删除所有最低有效零位。
如果 b != 0，则转到 4。
在 a 的末尾添加 s 个零位。这就是结果。

【讨论】：