这个 DFA 对应的正则表达式是什么？

Question

这是来自一个研究项目的 DFA。我们手动创建了 DFA。我们对什么是与 DFA 对应的正则表达式感兴趣。当然，可能有多个 与之对应的正则表达式；我们更喜欢更简单的。

Answer 1

您在 B 和 E 的自循环上错过了 DFA 中的标签。但是因为您说 对于给定的 DFA，所以标签的唯一选择是两个循环上的 0。

您的 DFA 的正确正则表达式是：

(00* 10*1)* (1(0 + 10)* 1 1) ( 0 + 1 (00* 10*1)* 1  ( 0 + 10)* 1 1)*

简要说明：

1. 您只有一个最终状态，即D。因此，如果字符串以D 结尾，则可以接受。 你注意到D 上的传入边缘标记为1 并且D 有一个标记为0 的自循环。

2. 起始状态为A，因此字符串可以以0 或1 开头。实际上，A 上有两个循环。一个以 0 开头并穿过上图。
   上层循环的 RE 是：00* 10*1

   要理解这一点：

     0     0*           1      0*            1  
   
    A-E   loop on E     E-F    loop on F     F-A
   

3. 在下图中从A 到D。回复是1 (0 + 10)* 1 1
   要理解这一点：

    1        (0 + 10)*    1     1
    A - B    loop on B    B-C   C-D      
   

4. DFA 的完整 RE 是：(answer)

   (00* 10*1)* (1(0 + 10)* 1 1) ( 0 + 1 (00* 10*1)* 1  ( 0 + 10)* 1 1)*
   

   要理解这一点：

   (00* 10*1)*  (1(0 + 10)* 1 1) ( 0 + 1 (00* 10*1)* 1 ( 0 + 10)* 1 1)*
   
   ^             ^                                                    ^   
   upper loop    A to D           loop on D              * for loop on D    
   
   
                         ( 0 +  1    (00* 10*1)* 1    (0 + 10)*   1  1  )*
                           ^    D-A   A-A        A-B  loop on B, B-c c-D       
                        self loop on D                                
   

编辑正如@RedBaron 所评论的那样，这个正则表达式是否会生成字符串01110100110：

首先检查它是否被 DFA 接受：

A--0--> E--1---> F--1---> A---1---> B--0---> B---1-- ->C---0--- ->B---0---> B--1-->C---1---> D---0--->D‌​

是的字符串被 DFA 接受。

如何从我在答案中给出的 RE 生成，下面我已经对齐了 RE 和字符串。

(00* 10*1)*    (1(0 + 10)* 1 1) ( 0 + 1 (00* 10*1)* 1 ( 0 + 10)* 1 1)*

 0^  1^ 1      1  0100     1  1   0

只有你可能要理解的困难：(0 + 10)* 如何生成0100？对于以下检查：

(0 + 10)*重复三遍：

(0 + 10)(0 + 10)(0 + 10)
 0           10  0

Answer 2

Jack，这个 DFA 基本上可以有两个正则表达式。 首先可以是 AB*CD*A， 第二个可以是AE*F*

Answer 3

您需要使用的算法描述为here。如果您对该主题更感兴趣，我强烈建议您阅读 Michael Sipser 的 Introduction to the Theory of Computation。

对于您的特定 DFA，按照您得到此正则表达式的算法：

[(010*1)*1(10*)110*1]*(010*1)*1(10)*110*

Answer 4

10*110* 用于从 A-B-C-D 转换而没有 c-B 中的循环

1(0*(10)*)*110*我认为也涵盖了C和B之间的循环

0+10*1 是 A-E-F 的循环。所以你可以在这两个表达式前加上前缀

你得到(0+10*1)*10*110*没有循环和(0+10*1)*1(0*(10)*)*110*有它

最终的表达式是这样的

(0+10*1)*1(0*(10)*)*110*

用于从 A 到 D 的过渡

最后到达状态 D 你可以得到一个1，到达A 并重复整个过程

((0+10*1)*1(0*(10)*)*110*)(1((0+10*1)*1(0*(10)*)*110*))*

See it in action 获取此 DFA 的一些有效和无效字符串

澄清 - 此正则表达式基于 PCRE 接受的正则表达式。所以+ 表示字符串出现1 次或多次，* 表示出现0 次或多次，而| 表示OR

编辑 (0*(10)*)* 可以写成(0|(10))* 更好（感谢@grijesh-chauhan 为我指明了那个方向）。所以RE（基于PCRE）将是

((0+10*1)*1(0|(10))*110*)(1((0+10*1)*1(0|(10))*110*))*