(a*+b*) 生成的字符串有哪些类型

Question

除了 aa.. 或 bb.. 之类的任意数量的 a 和 b 的字符串之外，正则表达式 (a*+b*) 是否会包含类似

的字符串

ab

或任何以 b 结尾的字符串？

(a*+b*) 和 (a* b*) 一样吗？

我对正则表达式 (a*+b*) 生成的字符串有点困惑，如果有人能提供帮助，我将不胜感激。

Answer 1

除非您使用的正则表达式语言将*+ 明确分类为具有特殊含义或保留用于未来扩展（现在产生定义的行为或语法错误）的特殊标记，否则a*+的自然解析是它意味着(a*)+：后缀+应用于表达式a*。

如果该解释适用，接下来我们可以观察到 (a*)+ 仅等同于 a*。因此a*+b* 与a*b* 相同。

首先，根据定义R+ 表示RR*。匹配一个R，然后匹配零个或多个。因此，我们可以将(a*)+重写为(a*)(a*)*。

其次，* 是幂等的，所以(a*)* 就是(a*)。如果我们匹配“零次或多次a”，零次或多次，没有任何变化；净效应为零或更多a。 证明： R* 表示这个无限扩展：(|R|RR|RRR|RRRR|RRRRR|...)：不匹配，或者匹配一个R，或者匹配两个R，...因此，(a*)* 证明了这个扩展：(|a*|a*a*|a*a*a*|...)。这些内部a*-s 依次表示各个二级扩展：(|(|a|aa|aaa|...|)|(|a|aa|aaa|...)(a|a|aaa|...))|...)。通过分支| 的关联属性，我们可以将(a|(b|c)) 之类的结构展平为(a|b|c)，当我们对扩展执行此操作时，我们注意到有许多相同的术语——空正则表达式()，单a，双aa等等。这些都简化为一个副本，因为(|||) 相当于() 而(a|a|a|a|...) 相当于只是(a) 等等。也就是说，当我们通过增加长度对术语进行排序，并将多个相同的术语压缩为一个副本时，我们最终得到(|a|aa|aaa|aaaa|...)，这可以识别为a*的扩展。因此(a*)* 是a*。

最后，(a*)(a*) 仅表示a*。 证明： 与前面类似，我们扩展为分支：(|a|aa|aaa|...)(|a|aa|aaa|...)。接下来，我们注意到分支表达式的串联等效于项的笛卡尔积集。也就是说，(a|b|c|..)(i|j|k|...) 的意思是：(ai|aj|ik|...|bi|bj|bk|...|ci|cj|ck|...|...)。当我们将此产品应用于(|a|aa|aaa|...)(|a|aa|aaa|...) 时，我们会得到大量的术语，当它们以增加的长度排列并进行重复数据删除时，会减少到(|a|aa|aaa|aaaa|...)，这就是a*。

Answer 2

我认为在这里查看正则表达式的正式定义会有所帮助，即查找每个正则表达式 e 它产生哪种语言 L(e)。

让我们从简单的开始：

(1) 那么正则表达式 a （只有字母）呢？它的语言是

 L(a) := {a},

只有一个单词/字符“a”。

(2) 对于正则表达式 e1 + e2，其中 e1 和 e2 本身就是正则表达式，

L(e1 + e2) := L(e1) U L(e2).

例如如果 a 和 b 是字符，L(a+b) = {a, b}。

(3) 对于正则表达式 e1 e2（连接），其中 e1 和 e2 本身就是正则表达式，

L(e1 e2) := all words w such that 
we can write w = w_1w_2 with w_1 in L(e1) and w_2 in L(e2)".

(4) 那么正则表达式 *e** 呢，其中 e 可能是正则表达式本身？直观地说，如果一个词具有以下形式，则它在 L(e*) 中 w_1 w_2w_3w_4...w_n，每个 i 在 L(e) 中都有 w_i。 所以

L(e*) := all words w such that we can write 
         w = w_1 w_2 .. w_n 
           for a n >= 0 with all w_i in L(e) (for i = 1, 2, ..., n)

那么，L((a* + b*)) 呢？

L((a* + b*)) 
(according to rule 2)
= L(a*) U L(b*)
(according to rule 4/1)
= {eps, a, aa, aaa, aaaa, ....} U {eps, b, bb, bbb, bbbb}
= all strings that have either only a's OR only b's in it 
  (including eps, the so-called empty word)

同样适用于 (a* b*)：

 L((a* b*))
 (according to rule 3)
 = all words w = w_1 w_2 with w_1 in L(a*) and w_2 in L(b*)
 = {eps eps, eps b, a eps, ab, aa eps, aab, ...}
 = {eps, b, a, ab, aa, aab, aabb, ... }
 = all strings that first have zero or more a's, then zero or more b's.

一开始我认为它有助于“解构”正则表达式，就像我们在上面所做的那样 - 因为正则表达式也可以被视为树，就像更知名的算术表达式一样，例如：

    +
  /   \
 *     *
 |     |
 a     b