使用截断朝向负无穷与朝向零的优点答案

【问题标题】：Advantages of using truncation towards minus infinity vs towards zero使用截断朝向负无穷与朝向零的优点
【发布时间】：2013-09-25 21:32:45
【问题描述】：

我想知道从编程语言/编译器实现的角度来看，使用向负无穷大（Haskell，Ruby）截断而不是向零截断（C，PHP）有哪些好处。

似乎向负无穷大截断是正确的方法，但我还没有找到可靠的来源来支持这种说法，也没有找到这样的决定如何影响编译器的实现。我对可能的编译器优化特别感兴趣，但并不完全是。

相关来源：

Division in Haskell

When is the difference between quotRem and divMod useful?

【问题讨论】：

标签： haskell compiler-construction truncate

【解决方案1】：

这些实际上甚至不是唯一的选择，事实上，通常甚至可能不是最好的。我可以在这里总结一下，但最好只链接到这篇出色的论文，该论文对比了截断、下限和欧几里得除法，涵盖了理论和一些实际应用，The Euclidean Definition of Functions div and mod, Raymond T. Boute。

【讨论】：

论文的结论更具体一点。它指出，向负无穷大的截断（称为 F 定义）是唯一与 E 定义可比的（在理想的性质上）。
对于正除数的截断和这个“欧几里得”定义是相同的（也就是说，div 和 mod 是相同的）。差异仅适用于负除数。

【解决方案2】：

这里引用了 ISO/IEC 10967-1:2012 语言独立算术 (vl. LIA-1) C.5.1.2.2 附录 C 中的（信息性）基本原理。省略号...由我插入。

... 常用的舍入规则有两种：向负无穷大舍入 (quot_I)，以及向负无穷大舍入零。后者在 LIA-1 中未指定，因为当参数具有不同符号时，容易误用。例如，

quot_I(-3,2) = -2 向负无穷舍入，在 LIA-1 中指定

div^t_I(-3,2) = -1 向零舍入，不再由 LIA 的任何部分指定

quot_I ... 以及 ... 都满足一个广泛有用的翻译不变量：

quot_I(x + i * y, y) = quot_I em>( x, y) + i 如果 y ≠ 0，则不会发生溢出

... quot_I 是许多数学家首选的整数除法形式。 div^t_I（LIA不再指定）是Fortran引入的除法形式。

整数除法经常用于分组。例如，如果要将一系列索引项划分为 n 个项的组，则将项i 放入组i/n 是很自然的。如果 quot_I 用于整数除法，这很好用。但是，如果使用 div^t_I（LIA 中不再指定），并且 i 可以为负数，则第 0 组将得到 2 ⋅ n-1 项而不是所需的n。负面i 的这种不均匀行为可能会导致细微的程序错误，并且是反对使用 div^t_I 的强烈理由 ...

【讨论】：

我想不出任何时候我发现舍入为零，也没有相关的余数函数，有用。此外，我能想到的唯一代码 a==(a/b)*b + a%b 保证有用的是试图解决除法使用向零舍入这一事实的代码。另一个向负无穷取整获胜的地方，顺便说一句：计算诸如三个数字的四舍五入之类的东西。 (a+b+c+1)/3 表达式在平均值为正或使用舍入负无穷除法时效果很好。如何用四舍五入做等价的？
@supercat：需要一遍遍地重复 :-)

【解决方案3】：

整数除法中不同类型的舍入存在各种权衡。正如杰克麦克阿瑟所说，这不是唯一的。例如，还有四舍五入到最接近的整数。

另一个考虑是整数除法和余数齐头并进。 quotient * divisor + remainder = dividend 法律成立。所以不同类型的除法舍入会产生不同类型的余数。例如：

除法向零舍入，产生的余数始终与被除数具有相同的符号。例如，在 C 和 Java 中，(-5) % 3 = -2（因为(-5) / 3 = -1，和(-1) * 3 + (-2) = -5）；而5 % (-3) = 2（因为5 / (-3) = -1和(-1) * (-3) + 2 = 5）。
除数向负无穷大舍入，产生的余数始终与除数具有相同符号。例如，在 Python 和 Ruby 中，(-5) % 3 = 1（因为(-5) / 3 = -2，和(-2) * 3 + 1 = -5）；而5 % (-3) = -1（因为5 / (-3) = -2和(-2) * (-3) + (-1) = 5）。
向最接近的整数除法，产生最小的余数（在两个可能的余数中）（最接近于零）。

具有与除数相同符号的余数通常在数学和计算机科学中最有用。人们经常需要用一个固定的除数计算余数。例如，x % 2。在余数有除数符号的语言中，如 C 和 Java，此表达式的计算结果可能为 -1、0 或 1，具体取决于 x。然而，在余数有除数符号的语言中，比如 Python 和 Ruby，这个表达式只能计算为 0（如果是偶数）或 1（如果是奇数）。这可能更符合预期。

我相信许多处理器架构，包括 x86 架构，都包含一个整数除法指令，该指令向零舍入。因此，在大多数计算机上计算它可能更有效。我不确定是否有整数除法指令向负无穷大舍入。

【讨论】：

没有一个 x86 指令用于将整数除以任意除数，该除数向负无穷大舍入，但有一个指令用于将有符号数除以 2 的幂（算术右移）。此外，对于许多常数除数，可以使用四个快速指令（加载、乘法、加法、移位）执行向负无穷大舍入的除法，但向零舍入会使事情变得更慢和更复杂。
显然只是一个小错字，但你写5 % (-3) = 1的地方我想你的意思是5 % (-3) = -1（在python中测试）
@JoshuaPerrett：已修复