奇怪的乘法结果

Question

在我的代码中，我在所有变量类型为 double[] 的 C++ 代码中进行了乘法运算

f1[0] = (f1_rot[0] * xu[0]) + (f1_rot[1] * yu[0]); 
f1[1] = (f1_rot[0] * xu[1]) + (f1_rot[1] * yu[1]); 
f1[2] = (f1_rot[0] * xu[2]) + (f1_rot[1] * yu[2]); 

f2[0] = (f2_rot[0] * xu[0]) + (f2_rot[1] * yu[0]); 
f2[1] = (f2_rot[0] * xu[1]) + (f2_rot[1] * yu[1]);
f2[2] = (f2_rot[0] * xu[2]) + (f2_rot[1] * yu[2]);

对应这些值

Force Rot1 : -5.39155e-07, -3.66312e-07
Force Rot2 : 4.04383e-07, -1.51852e-08

xu: 0.786857, 0.561981, 0.255018
yu: 0.534605, -0.82715, 0.173264

F1: -6.2007e-07, -4.61782e-16, -2.00963e-07
F2: 3.10073e-07, 2.39816e-07, 1.00494e-07

这种乘法尤其会产生错误的值 -4.61782e-16 而不是 1.04745e-13

f1[1] = (f1_rot[0] * xu[1]) + (f1_rot[1] * yu[1]);  

我在计算器上手动验证了其他乘法，它们似乎都产生了正确的值。

这是一个开放的 mpi 编译代码，上面的结果是针对运行单个处理器的，运行多个处理器时会有不同的值，例如 40 个处理器产生 1.66967e-13 作为 F1[1] 乘法的结果。

这是某种 mpi 错误吗？还是类型精度问题？为什么它适用于其他乘法？

Answer 1

您的问题是所谓的灾难性求和的明显结果： 我们知道，双精度浮点数可以处理大约 16 位有效小数。

f1[1] = (f1_rot[0] * xu[1]) + (f1_rot[1] * yu[1])
      = -3.0299486605499998e-07 + 3.0299497080000003e-07
      = 1.0474500005332475e-13

这是我们通过您在示例中给出的数字获得的。 请注意(-7) - (-13) = 6，它对应于您在示例中给出的浮点数中的小数位数：（例如：-5.39155e-07 -3.66312e-07，每个尾数的精度为 6 位小数）。这意味着您在这里使用了单精度浮点数。

我确信在您的计算中，您的数字的精度更高，这就是您找到更精确结果的原因。

无论如何，如果您使用单精度浮点数，就不能指望更高的精度。使用双精度，您可以找到高达 16 的精度。您不应该相信两个数字之间的差异，除非它大于尾数：

• 简单的精度浮点数：(a - b) / b >= ~1e-7
• 双精度浮点数：(a - b) / b >= ~4e-16

有关详细信息，请参阅these examples ... 或table in this article ...