构造一个双射函数将任意整数从 [1, n] 随机映射到 [1, n]

Question

我想构造一个双射函数f(k, n, seed)，从[1,n] 到[1,n]，其中1<=k<=n 和1<=f(k, n, seed)<=n 对应每个给定的seed 和n。该函数实际上应该从1,2,...,n 的随机排列 返回一个值。随机性由seed 决定。不同的seed可能对应不同的排列。对于每个1<=k<=n 和任何给定的seed，我希望函数f(k, n, seed) 的时间 复杂度为O(1)。

任何人都知道我该如何构造这样的函数？允许随机性是伪随机性。 n 可以非常大（例如 >= 1e8）。

Answer 1

无论你怎么做，你总是需要存储一个仍然可用的号码列表或已经使用的号码......一个简单的可能性是以下

const avail = [1,2,3, ..., n];

let random = new Random(seed)

function f(k,n) {
  let index = random.next(n - k);
  let result = avail[index]
  avail[index] = avail[n-k];
}

对此的假设如下

• 数组avail是0索引的
• random.next(x) 用0 <= i < x 创建一个随机整数i
• 第一个调用函数f的k是0
• f 被称为连续 k 0, 1, 2, 3, ..., n

原理如下：

avail 保存所有仍可用于排列的数字。当您采用随机索引时，该索引处的元素是排列的下一个元素。然后，无需从数组中切出该元素，这非常昂贵，您只需将当前选定的元素替换为 avail 数组中的最后一个元素。在下一次迭代中，您（实际上）通过将随机数的上限减少 1 来将 avail 数组的大小减少 1。

我不确定这种随机排列在值分布方面的安全性如何，例如，某个范围的数字更有可能出现在排列的开头或结尾的排列。

Answer 2

一个简单但不是很“随机”的方法是使用这样一个事实：如果 a 与 n 互质（即它们没有公因数），那么

x-> (a*x + b)%n

是 {0,..n-1} 到 {0,..n-1} 的排列。要找到它的倒数，您可以使用扩展欧几里得算法来找到 k 和 l 以便

1 = gcd(a,n) = k*a+l*n

因为上面的地图的倒数是

y -> (k*x + c) mod n
where c = -k*b mod n

因此，您可以选择 a 作为 {0,..n-1} 中与 n 互质的“随机”数，并选择 b 作为 {0,..n-1} 中的任意数

请注意，您需要在 64 位算术中执行此操作以避免计算 a*x 时溢出。