调度算法 - 仅支付首次访问

Question

我需要知道之前是否研究过以下问题：

让我们有一个有向无环图 G。该图是连通的，它只有一个源顶点（没有传入节点）和一个接收顶点（没有传出节点）。

每个顶点都被分配了一个非负的美元价格和一种颜色。

我们的目标是找到一条从起点到终点的路径，以使已访问边的价格总和最大化。

关键是，只有在第一次访问特定颜色的顶点时才会收到价格。例如，当我们看到价格为 1 美元的红色顶点，然后是价格为 2 美元的蓝色顶点，然后是 30 美元的红色顶点时，总价格为 3 美元。

我的特定问题的大致大小：50000 个顶点，3000 种颜色，从开始到下沉的典型步行长度大约 200 条边。

             ------>[B red $1]---                   ---->[E red $1]----
            /                    \                 /                   \
[A black $0]                      ==>[D black $0]==                     ==>[G black $0]
            \                    /                 \                   /
             ---->[C green $2]---                   ->[F green $1000]--

Answer 1

这是考虑动态图的最短路径问题的一个很好的变体，即随时间变化的图（随着您离源越来越远，边权重会发生变化）。 Dijkstra's algorithm 将解决它，因为边的权重是随你去计算的，所以边权重根据你去过的地方而不同的事实并不重要。这是 wikipedia 的描述，其中 以粗体显示颜色变化问题的考虑：

让我们开始的节点称为初始节点。让 节点Y的距离是从初始节点到Y的距离。 Dijkstra 算法将分配一些初始距离值，并将 尝试逐步改进它们。

1. 为每个节点分配一个暂定距离值：对于我们的初始节点将其设置为零，对于所有其他节点将其设置为无穷大。

2. 标记所有未访问的节点。将初始节点设置为当前节点。创建一组未访问节点，称为未访问集 由除初始节点外的所有节点组成。

3. 对于当前节点，考虑其所有未访问的邻居并计算它们的暂定距离。 现在这取决于到目前为止所选择的路径。例如，如果当前 节点 A 用距离 6 标记，连接它的边 一个邻居 B 的长度为 2 基于颜色权重，那么到 B 通过到目前为止的路径的距离将是 6+2=8。如果这个距离小于之前记录的距离， 然后覆盖那个距离。虽然邻居已经 已检查，此时未将其标记为已访问，并且仍保留在 未访问的集合。

4. 当我们考虑完当前节点的所有邻居后，将当前节点标记为已访问并将其从 未访问集。被访问的节点将永远不会被再次检查；它的 现在记录的距离是最终的和最小的。

5. 如果目标节点已被标记为已访问，则停止。算法完成。

6. 将标记为最小暂定距离的未访问节点设置为下一个“当前节点”并返回步骤3。

Nannicini 和 Liberti 在Shortest paths on dynamic graphs 上进行了一次不错的调查。

Answer 2

如果我正确理解了这个问题，它可以在 O(E) 时间内解决，如下所示。 让我们从正式定义它的解决方案开始。

给定一个 DAG G = (V, E)，让 FS(i) 成为 前向星 一个顶点i：

FS(i) = {(x, y) in E: x = 我}

令C为到目前为止访问过的顶点的颜色集合，令p[i]和c[i]分别为顶点的价格和颜色i；现在定义 reward r 用于从顶点 i 到顶点 j 属于 FS(i) 为

r[i, j] = p[j] 如果 c[j] 不属于到 C

否则r[i, j] = 0（如果c[j]属于C）

我们现在准备如下定义我们的子问题：

D(i, j, C) = max on k属于 FS(i) { r[i, k] + D(k, j , C 联合 {c[k]}) }

以 D(i, i, C) = 0 作为终止条件（到达汇节点时需要）

因此要解决的初始问题是 D(s, t, {c[s]}) 其中s 和 t 分别是源和汇顶点：

D(s, t, {c[s]}) = max on k 属于 FS(s) { r[s, k] + D(k , t, {c[s]} 联合 {c[k]}) }

为了解决这个问题，您使用与顶点的前向星对应的邻接列表来存储 DAG。然后从源顶点开始，在考虑颜色约束的情况下确定与所有路径相关的成本。由于您基本上是在探索顶点的前向星并且永远不会返回，因此使用哈希表表示集合的整体复杂度为 O(E)，因此插入颜色和成员资格测试需要 O (1) 平均时间。我所说的 union 实际上是一个 insert 操作（结果都是一样的，因为每次你做一个单例集的并集）。

Answer 3

有趣的问题。它是 NP 难的，但与任何经典的逼近算法文献都没有相似之处。

从集合覆盖实例 {{1, 2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {4, 5}} 的减少示例证明。所有边都朝下。

 s:$0
 | \
 |   \
 |     \
 |     1:$100
 |      |
!A:$1  2:$100
 |      |
 |     3:$100
 |     /
 |   /
 | /
 *:$0
 | \
 |   \
 |     \
 |     2:$100
!B:$1   |
 |     4:$100
 |     /
 |   /
 | /
 *:$0
 | \
 |   \
 |     \
 |     3:$100
!C:$1   |
 |     4:$100
 |     /
 |   /
 | /
 *:$0
 | \
 |   \
 |     \
 |     4:$100
!D:$1   |
 |     5:$100
 |     /
 |   /
 | /
 t:$0

我不知道是否有一个好的近似算法（这种减少并不排除它）。使用单位流而不是路径的 LP 松弛可能足以让分支和绑定工作。