快速安装/排列瓷砖的方法答案

【问题标题】：Fast method of tile fitting/arranging快速安装/排列瓷砖的方法
【发布时间】：2015-02-27 05:16:17
【问题描述】：

例如，假设我们有一个有界的 2D 网格，我们希望用相同大小的方形图块覆盖该网格。我们有无限数量的瓷砖，它们属于定义数量的类型。每种类型的瓷砖都指定了印在该瓷砖上的字母。字母印在每个边缘旁边，只有在相邻边缘上具有匹配字母的瓷砖才能在网格上彼此相邻放置。瓷砖可以旋转。

鉴于网格的大小和图块类型定义，排列图块以满足上述约束并覆盖整个/大部分网格的最快方法是什么？ 请注意，我的用例适用于大型网格（每个维度约 20 个）和中等数量的解决方案（与 Eternity II 不同）。

到目前为止，我已经尝试了从中心开始的 DFS，并在填充区域周围选择允许最少可能性的位置，并在没有进展的情况下回溯。这仅适用于具有一种或两种类型的简单场景。任何更多和太多的回溯随之而来。

这是一个简单的例子，显示输入和最终输出：

【问题讨论】：

能否介绍一下约束条件、网格大小？瓷砖类型的数量？
我认为所有这些都是问题的输入。尽管如果您可以正式定义输入（大小为A*B、N 类型的图块、M 不同的字母、任何其他...？）那会很好。此外，瓷砖的 4 个边缘之间是否有重复，或者所有 4 个总是不同的字母？（将这些问题的任何答案添加到 OP）。
是的，这些实际上是输入。此外，是的，允许重复，例如，瓷砖可能在所有边缘上都有字母 v。如果它是唯一的瓷砖类型，排列它们将是微不足道的。
请举例说明您的问题。最好能理解并回答您的问题。

标签： algorithm search depth-first-search

【解决方案1】：

这是一个难题。

Eternity 2 是这种形式的拼图，具有 16 x 16 的方格。

尽管获得了 200 万美元的奖金，但几年来没有人找到解决方案。

论文"Jigsaw Puzzles, Edge Matching, and Polyomino Packing: Connections and Complexity" by Erik D. Demaine, Martin L. Demaine 表明这种类型的谜题是NP-完全的。

【讨论】：

【解决方案2】：

考虑到这种方形网格的问题，我会尝试对所有可能的列进行强力列表，然后对所有行进行动态编程解决方案。这将找到解决方案的数量，并且可以使用一些额外的工作来生成所有解决方案。

但是，如果您的行是 n 长并且有 m 字母和 k 瓷砖，那么所有可能列的蛮力列表最多有 mn 可能的右边缘和最多 m4k 组合/旋转生成它所需的瓷砖。然后从一列的右边缘到下一列的右边缘的转换可能具有多达m2n 的可能性。这些数字通常不是最坏的情况，但这些数据结构的大小将是该技术可行性的上限。

当然，如果这些数据结构变得太大而无法实现，那么您所描述的递归算法将太慢而无法枚举所有解决方案。但是如果有足够的，即使这种方法不可行，它仍然可能运行得可以接受。

当然，如果您的行多于列，您会希望在此技术中颠倒行和列的角色。

【讨论】：

经过一点实验，似乎这个解决方案在解决方案数量较少的情况下效果最好。否则，例如，两个磁贴“1111”和“2221”（以及它们的所有旋转）的列大小为 15，会产生 350 万个不同的列。我的用例是针对大量解决方案和大型网格。
对。这保证找到所有解决方案。但如果有很多，那么随机寻找一个可能会更有效。