最低成本非二分分配问题答案

【问题标题】：Lowest Cost non-bipartite assignment problem最低成本非二分分配问题
【发布时间】：2011-05-07 14:34:22
【问题描述】：

关于如何实现一个有效的算法（优于 O(n²)）来解决非二分图中的分配问题有什么想法吗？

主要思路如下：

我有两个相同的集合，比如说S1 = [A,B,C,D] 和S2 = [A,B,C,D]，并且集合的不同元素之间存在一些边，具有给定的成本，例如A->B (cost 4)、B->C (cost 3)、C->A (cost 10)、D->A (cost 6)。

我想找到最好的分配方式：分配的元素数量最大，总成本最低。（分配元素的数量更重要）。

所以对于这个例子，最好的分配是：

A->D (cost 6)  
B->C (cost 3)

[A,B,C,D] 已分配且成本最低：9

另一个，但不是最好的：

A->B (cost 4)

由于A已经被分配，所以无法分配其余部分，因此分配不是最大可能的

我在 O(n²) 中设计了一个太慢的贪婪解决方案。

集合的大小通常是小（5-10）个元素。

【问题讨论】：

两套有什么意义？
您的成本清单与示例中的分配不匹配。也许缺少一些解释
你是对的（擦除错误：P）。我刚刚编辑了费用清单
4 或 5 项的 O(n^2) 有多慢？
因为可以有许多边连接节点（元素）。另外，算法执行了很多次（需要很多不同的赋值），总之O(n^2)会影响整体性能

标签： algorithm search graph variable-assignment graph-theory

【解决方案1】：

我假设您有一个无向图，并且您想要选择最大数量的边，这样没有两条边会发生在同一个节点上（节点 = 您描述中的集合元素）。您还希望使用所选边的最小总成本来打破平局。如果这不符合您的要求，请告诉我。

创建上述的对偶图（每个原始边一个节点，如果相应的原始边入射到同一个顶点，则两个节点相连）。然后，您正在寻找双节点的maximum independent set。不幸的是，这是一个 NP 难题。这只是为了最大数量的边，使用权重打破平局可能稍微困难一些。幸运的是，你的 N 是 5-10，所以你可以暴力破解它。

【讨论】：

是的，问题或多或少像你描述的那样。当将其视为最大独立集问题时，它绝对是 NP 难的。我想知道是否有任何其他解决方案比我的“受约束的蛮力”更聪明，考虑到少量节点，它可以避免适应另一个 NP 难题。谢谢你的回答
您证明这是 NP-hard 的证明是错误的。您不能通过将问题简化为 NP-hard 问题来证明 NP-hardness，而是通过将 NP-hard 问题简化为您要解决的问题来证明它。另外，如果我正确理解了这个问题，这不是 NP-hard。
你是对的，这不是提供证明的减少方向。我从来没有声称它是。

【解决方案2】：

听起来您想要最大的非二分匹配：1、2。

该算法很难实现，我还没有看到任何实现，特别是如果您想要最低成本。在我看来，对于这么小的输入，你最好强行使用它。

你是如何用贪心算法解决这个问题的？你确定它有效吗？

【讨论】：

IVlad 就在这里。贪婪的方法通常不适用于这种方法。二分匹配与最大流问题非常相似。
我检查了 Edmond 的算法。确实很难实施。我没有尝试它，因为贪婪的解决方案给出了可接受的结果......虽然图形大小很小，但我必须多次计算分配，所以蛮力太重了。贪心解决方案并不总是计算出最佳分配，但它确实给出了可接受的解决方案。谢谢