二分查找和不变关系

Question

我正在阅读这个post 并试图弄清楚我们如何确定二进制搜索的不变关系。具体来说，在他给出的两个例子中，为什么这两个不变量关系是不同的？有何不同？

部分 A[start]

另一个问题是，我可以简单地将框架更改为：

int binarySearchFramework(int A[], int n, int target) {
    int start = start index of array - 1;
    int end = length of the A;
    while (end - start > 1) {
        int mid = (end - start) / 2 + start;
        if (A[mid] == target) return mid;
        if (A[mid] < target) {
            end = mid;
        } else {
            start = mid;
        }
    }      
   //not found
   ...
}  

这个是不是不如帖子里提供的那个？

非常感谢！

Answer 1

您可以选择不变量。这是从实践中学到的技能。即使有经验，它通常也涉及一些试验和错误。选一个。看看情况如何。寻找机会选择一个需要较少工作来维护的不同的。您选择的不变量会对代码的复杂性和/或效率产生重大影响。

二分查找中的不变量至少有四种合理的选择：

a[lo] <  target <  a[hi]
a[lo] <= target <  a[hi]
a[lo] <  target <= a[hi]
a[lo] <= target <= a[hi]

您通常会看到最后一个，因为它最容易解释，并且不涉及使用超出范围的数组索引进行棘手的初始化，其他人会这样做。

现在有理由使用像a[lo] < target <= a[hi] 这样的不变量。如果您希望始终找到目标重复系列中的第一个，则此不变量将在 O(log n) 时间内完成。当hi - lo == 1 时，hi 指向目标的第一次出现。

int find(int target, int *a, int size) {
  // Establish invariant: a[lo] < target <= a[hi] || target does not exist
  // We assume a[-1] contains an element less than target. But since it is never
  // accessed, we don't need a real element there.
  int lo = -1, hi = size - 1;
  while (hi - lo > 1) {
    // mid == -1 is impossible because hi-lo >= 2 due to while condition
    int mid = lo + (hi - lo) / 2;  // or (hi + lo) / 2 on 32 bit machines
    if (a[mid] < target)
      lo = mid; // a[mid] < target, so this maintains invariant
    else
      hi = mid; // target <= a[mid], so this maintains invariant
  }
  // if hi - lo == 1, then hi must be first occurrence of target, if it exists.
  return hi > lo && a[hi] == target ? hi : NOT_FOUND;
}

注意此代码未经测试，但应该可以通过不变逻辑工作。

具有两个<= 的不变量只会找到目标的一些 实例。你无法控制哪一个。

此不变量确实需要使用lo = -1 进行初始化。这增加了证明要求。您必须证明mid 永远不能设置为-1，这会导致超出范围的访问。幸运的是，这个证明并不难。

你引用的文章很差。它有几个错误和不一致之处。在别处寻找例子。 Programming Pearls 是个不错的选择。

您提议的更改是正确的，但可能会慢一些，因为它将只运行一次的测试替换为每次迭代运行一次的测试。

Answer 2

您的问题的答案是“什么是循环不变量”问题的答案。

循环不变量的全部意义在于在循环终止之前、期间和（可能最重要的）之后提供有用的属性。例如，插入排序有一个循环不变量，即要排序的数组按从 1 个索引开始的范围的排序顺序（一个项目总是排序），并增长为整个数组。 这样做的用处是，如果它在循环开始之前为真，并且循环没有违反它，那么您可以正确推断出在循环执行之后整个数组都已排序。假设您没有弄乱终止条件，这不会违反循环不变量，因为不变量仅指整个数组的子数组，它可能是也可能不是整个数组。如果提前终止，子数组小于整个数组，但子数组保证按照不变量排序。

你链接的帖子说的差不多，但如果作者真正解释更多关于他在说什么可能会更好。这篇文章似乎在寻求教导，但仍有许多未说的内容，即使只是为那些好奇或需要更多信息的人提供更深入信息的脚注。

直接回答你的问题“为什么两个不变量不同”，答案是因为它们解决了两个不同的问题。

您的链接中的几句话说明了这一点：

• 我再次强调，不变的关系指导我们编码。
• 找到问题的不变关系，一切就变得简单了。

Answer 3

你写的

部分A[start]

但这显然是错误的，因为初始值应该是 start = 0，end = N-1（而不是 -1，N）。顺便说一句，对于链接中描述的情况（不同元素的数组），您不需要任何不变量。

这将毫无问题且易于理解。

int arr[] = {0,1,2,3,4,5,6,7};
int N = sizeof (arr) / sizeof (arr[0]);
int target = 4;

int l = 0, r = N-1;
while( l <= r ) {
    int mid = (l+r)>>1;
    if( arr[mid] == target )
        return mid;
    if( arr[mid] < target )
        l = mid + 1;
    else
        r = mid - 1;
}
return -1; // not found