了解 Matlab linsolve答案

【问题标题】：Understanding Matlab linsolve了解 Matlab linsolve
【发布时间】：2014-11-21 06:19:53
【问题描述】：

1.A\b 和 linsolve(A,b) 有什么区别（不同的算法？）？

2.求解A*x=b和A'*A*x=A'*b有什么区别，哪个更精确？

简单的matlab测试代码：

A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]
b=[1;2;3]

x1= A\b
x1 =

   -0.3333
    0.6667
         0
x2=linsolve(A,b)
x2 =

   -0.3333
    0.6667
         0
x3=linsolve(A'*A,A'*b)
x3 =

    0.2487
   -0.4974
    0.5820
x4=(A'*A)\(A'*b)
x4 =

   -0.8182
    1.6364
   -0.4848

阅读 linsolve 文档我发现

[X,R] = linsolve(A,B) 求解矩阵方程 AX = B 并返回如果 A 是方阵，则 A 的条件数的倒数，否则为 A 的等级。

所以使用 R 我们可以测试精度（第二个问题）？

【问题讨论】：

A'Ax=A'b 是最小二乘近似的正规方程。你永远不会想用 A'*Ax=A'*b 来解决这个问题。使用 x1 = A\b 因为这将使用一些好的和稳定的东西，比如 QR 分解，甚至可能是 SVD。对于条件较差的矩阵，您可以在 A'*A 的计算中引入重大错误，因此不要使用这种方法
@mathematician1975 如果我有 A=(M,n) nAI 仅求解 (n,n) 矩阵的方程组时，它应该更快？我在哪里可以找到关于方程 Ax=b 和 A'Ax=A'*b 的信息\证明有相同的答案？另请参阅我关于条件编号/等级的更新。
不需要预乘A'矩阵。方程 A'Ax=A'*b 只是最小二乘系统解的显式方程。您在这里处理的是一个正方形系统，但原则是相同的 - 根本不需要预乘 A'，它效率低下，即使在最好的情况下，您也只能希望不要加剧任何不适系统。
您可能有兴趣阅读以下内容：How to implement Matlab's mldivide, How does the MATLAB backslash operator solve Ax=b for square matrices?

标签： matlab linear-algebra equation-solving

【解决方案1】：

关于您的第一个问题：可以将mldivde (x = A\B) 视为linsolve 函数的包装器。函数linsolve 允许用户指定有关矩阵A 的信息，这可以帮助Matlab 选择更合适（更快）的算法来求解系统。然而，使用 linsolve 很容易搞砸。引用自 Matlab 的documentation：

如果 A 没有您在 opts 中指定的属性，则 linsolve 会返回不正确的结果并且不会返回错误消息。如果您不确定 A 是否具有指定的属性，请改用 mldivide。

如果您在执行算法时可以 100% 确定地评估矩阵的类型A，那么请选择linsolve。否则使用mldivide。

【讨论】：