这个正则表达式如何找到三角数？

Question

_{正则表达式教育系列文章的一部分，这是对嵌套引用概念的温和介绍。}

前几个triangular numbers是：

 1 = 1
 3 = 1 + 2
 6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

有很多方法可以检查数字是否为三角形。有一种使用正则表达式的有趣技术如下：

• 给定n，我们首先创建一个长度为n且填充相同字符的字符串
• 然后我们将此字符串与模式^(\1.|^.)+$ 进行匹配
  • n 是三角形的当且仅当此模式匹配字符串

这里有一些 sn-ps 表明它适用于多种语言：

PHP (on ideone.com)

$r = '/^(\1.|^.)+$/';

foreach (range(0,50) as $n) {
  if (preg_match($r, str_repeat('o', $n))) {
     print("$n ");
  }
}

Java (on ideone.com)

for (int n = 0; n <= 50; n++) {
    String s = new String(new char[n]);
    if (s.matches("(\\1.|^.)+")) {
        System.out.print(n + " ");
    }
}

C# (on ideone.com)

Regex r = new Regex(@"^(\1.|^.)+$");

for (int n = 0; n <= 50; n++) {
    if (r.IsMatch("".PadLeft(n))) {
       Console.Write("{0} ", n);
    }
}

所以这个正则表达式似乎可以工作，但有人可以解释一下吗？

类似问题

• How to determine if a number is a prime with regex?

Answer 1

说明

这是模式的示意图：

from beginning…
|         …to end
|         |
^(\1.|^.)+$
 \______/|___match
  group 1    one-or-more times

(…)brackets 定义捕获组 1，该组是 matched repeatedly 和 +。这个子模式是anchored 与^ 和$ 看它是否可以匹配整个字符串。

第 1 组尝试匹配 this|that alternates：

• \1.，即第 1 组匹配的内容（自引用！），加上 "any" character 之一，
• 或^.，即只是“任意”一个字符开头

请注意，在第 1 组中，我们参考了第 1 组匹配的内容！这是一个嵌套/自引用，也是本示例中介绍的主要思想。请记住，当重复捕获组时，通常是it only keeps the last capture，因此这种情况下的自引用本质上是：

“尝试匹配我上次匹配的内容，再加上一个。这就是我这次要匹配的内容。”

类似于递归，必须有一个带有自引用的“基本情况”。在+ 的第一次迭代中，第 1 组还没有捕获任何东西（这 NOT 与说它以空字符串开头相同）。因此，引入了第二种替代方式，作为“初始化”组 1 的一种方式，即允许在字符串开头捕获一个字符。

因此，与+ 重复时，组 1 首先尝试匹配 1 个字符，然后是 2，然后是 3，然后是 4，等等。这些数字的总和是一个三角形数字。

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进一步探索

请注意，为简化起见，我们使用由与输入相同的重复字符组成的字符串。现在我们知道了这个模式是如何工作的，我们可以看到这个模式也可以匹配"1121231234"、"aababc"等字符串。

还要注意，如果我们发现n是一个三角数，即n = 1 + 2 + … + k，那么第1组捕获的字符串的长度最后将是 k。

这两点都显示在下面的 C# sn-p (also seen on ideone.com) 中：

Regex r = new Regex(@"^(\1.|^.)+$");

Console.WriteLine(r.IsMatch("aababc"));     // True
Console.WriteLine(r.IsMatch("1121231234")); // True
Console.WriteLine(r.IsMatch("iLoveRegEx")); // False

for (int n = 0; n <= 50; n++) {
    Match m = r.Match("".PadLeft(n));
    if (m.Success) {
       Console.WriteLine("{0} = sum(1..{1})", n, m.Groups[1].Length);
    }
}
// 1 = sum(1..1)
// 3 = sum(1..2)
// 6 = sum(1..3)
// 10 = sum(1..4)
// 15 = sum(1..5)
// 21 = sum(1..6)
// 28 = sum(1..7)
// 36 = sum(1..8)
// 45 = sum(1..9)

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风味说明

并非所有风格都支持嵌套引用。始终熟悉您正在使用的the quirks of the flavor（因此，每当您提出与正则表达式相关的问题时，提供此信息几乎总是有帮助的）。

在大多数情况下，标准正则表达式匹配机制会尝试查看模式是否可以匹配输入字符串的任何部分（可能但不一定是整个输入）。这意味着您应该记住在必要时始终使用^ 和$ 锚定您的模式。

Java 稍有不同，String.matches、Pattern.matches 和 Matcher.matches 尝试将模式与 整个 输入字符串进行匹配。这就是为什么在上面的 sn-p 中可以省略锚点的原因。

请注意，在其他情况下，您可能需要改用 \A 和 \Z 锚点。例如，multiline mode、^ 和 $ 匹配输入中每一行的开头和结尾。

最后一件事是，在 .NET 正则表达式中，您可以实际上获得了由重复捕获组进行的所有中间捕获。在大多数情况下，您不能：所有中间捕获都丢失了，您只能保留最后一个。

相关问题

• (Java) method matches not work well - 举例说明如何进行前缀/后缀/中缀匹配
• Is there a regex flavor that allows me to count the number of repetitions matched by * and + (.NET!)

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奖励材料：使用正则表达式求二的幂！！！

只需稍加修改，您就可以使用此处介绍的相同技术来求二的幂。

这是您想要利用的基本数学属性：

• 1 = 1
• 2 = (1) + 1
• 4 = (1+2) + 1
• 8 = (1+2+4) + 1
• 16 = (1+2+4+8) + 1
• 32 = (1+2+4+8+16) + 1

解决方案如下（但请先尝试自己解决！！！！）

（在 ideone.com 上查看 PHP、Java 和 C#）：

^{^(\1\1|^.)*.$}