MATLAB 中的 mrdivide 函数：它在做什么，我如何在 Python 中做到这一点？

Question

我有这行 MATLAB 代码：

a/b

我正在使用这些输入：

a = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9]   
b = ones(25, 18)

这是结果（一个 1x25 矩阵）：

[5,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]

MATLAB 在做什么？我试图在 Python 中复制这种行为，而 MATLAB 中的 mrdivide 文档没有帮助。 5 是从哪里来的，为什么其余的值都是 0？

我已经尝试使用其他输入并收到类似的结果，通常只是一个不同的第一个元素和零填充矩阵的其余部分。在 Python 中，当我使用 linalg.lstsq(b.T,a.T) 时，返回的第一个矩阵中的所有值（即不是单数）都是 0.2。我已经在 Python 中尝试过正确的除法，但它给出了完全错误的尺寸。

我了解什么是最小二乘近似，我只需要知道mrdivide 在做什么。

相关：

• Array division- translating from MATLAB to Python

Answer 1

a/b 求线性方程组 bx = a 的最小二乘解

如果 b 是可逆的，这是 a*inv(b)，但如果不是，它是最小化 norm(bx-a) 的 x

您可以在wikipedia 上阅读有关最小二乘法的更多信息。

根据matlab documentation，mrdivide 将返回最多 k 个非零值，其中 k 是 b 的计算等级。我的猜测是，在您的情况下，matlab 解决了通过将 b 替换为 b(:1) （具有相同等级）给出的最小二乘问题。在这种情况下，定义了 moore-penrose 逆 b2 = b(1,:); inv(b2*b2')*b2*a' 并给出了相同的答案

Answer 2

对于 matlab 用户来说，对于 numpy 的 this handy "cheat sheet"，linalg.lstsq(b,a) -- linalg 是 numpy.linalg.linalg，是完整 scipy.linalg 的轻量级版本。

Answer 3

MRDIVIDE 或 / 运算符实际上解决了 xb = a 线性系统，而不是 MLDIVIDE 或 \ 运算符将解决系统 bx = a。

要求解具有非对称、不可逆矩阵b 的系统xb = a，您可以依赖mridivide()，这是通过使用高斯消元法对b 进行因式分解完成的，或者pinv() ，这是通过奇异值分解和低于（默认）容差水平的奇异值归零完成的。

这里是区别（mldivide 的情况）：What is the difference between PINV and MLDIVIDE when I solve A*x=b?

当系统超定时，两种算法都提供 相同的答案。当系统不确定时，PINV 将返回 解 x，具有最小范数 (min NORM(x))。 MLDIVIDE 将 选择非零元素数量最少的解决方案。

在你的例子中：

% solve xb = a
a = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9];
b = ones(25, 18);

系统未确定，两种不同的解决方案将是：

x1 = a/b; % MRDIVIDE: sparsest solution (min L0 norm) 
x2 = a*pinv(b); % PINV: minimum norm solution (min L2)

>> x1 = a/b
Warning: Rank deficient, rank = 1,  tol = 2.3551e-014.
ans =

    5.0000 0 0 ... 0 

>> x2 = a*pinv(b)
ans =

    0.2 0.2 0.2 ... 0.2 

在这两种情况下，xb-a 的近似误差是不可忽略的（非精确解）并且相同，即norm(x1*b-a) 和norm(x2*b-a) 将返回相同的结果。

MATLAB 在做什么？

根据矩阵b 的结构，'\' 运算符调用的算法（和属性检查）的详细分解在scicomp.stackexchange.com 的这篇文章中给出。我假设类似的选项适用于 / 运算符。

对于您的示例，MATLAB 最有可能进行高斯消元，在无穷大中给出最稀疏的解（这就是 5 的来源）。

Python 在做什么？

Python，在linalg.lstsq 中使用伪逆/SVD，如上所示（这就是为什么你得到一个 0.2 的向量）。实际上，以下将给您与 MATLAB 的pinv() 相同的结果：

from numpy import *

a = array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9])
b = ones((25, 18))

# xb = a: solve b.T x.T = a.T instead 
x2 = linalg.lstsq(b.T, a.T)[0]
x2 = dot(a, linalg.pinv(b)) 

Answer 4

TL;DR：A/B = np.linalg.solve(B.conj().T, A.conj().T).conj().T

我没有找到较早的答案来创建令人满意的替代品，因此我进一步挖掘了 Matlab 的 mrdivide 参考文档并找到了解决方案。我无法在这里解释实际的数学，也无法将答案归功于自己。我只是按照Matlab的解释。此外，我想发布来自 Matlab 的实际细节以表扬。如果是版权问题，有人告诉我，我会删除实际文本。

%/   Slash or right matrix divide.
%   A/B is the matrix division of B into A, which is roughly the
%   same as A*INV(B) , except it is computed in a different way.
%   More precisely, A/B = (B'\A')'. See MLDIVIDE for details.
%
%   C = MRDIVIDE(A,B) is called for the syntax 'A / B' when A or B is an
%   object.
%
%   See also MLDIVIDE, RDIVIDE, LDIVIDE.

%   Copyright 1984-2005 The MathWorks, Inc.

请注意，' 符号表示复共轭转置。在使用 numpy 的 python 中，需要将 .conj().T 链接在一起。