在欧几里得空间中寻找“最紧”的子集

Question

我在点 x_1, x_2, ... x_n \in R^d 中给出。我希望找到 k 点的子集，使得这些 k 点之间的距离之和最小。天真地这是一个 O(n 选择 k) 问题，但我正在寻找一种更快的算法。

我可以想到两个替代的等效公式：

1. 最小边权重团问题：将点视为一个图，边权重是距离，并找到最小权重团。 This is equivalent to maximal edge weight problem，已知是 NP 完全的。但是，我知道我的图表嵌入在 R^d 中，并且所有权重都是正数，所以这可能会有所帮助？

2. 最小无约束子矩阵问题：给定对称距离矩阵，我想找到和最小的 kXk 次要。

我将不胜感激。

Answer 1

最明显的优化实际上并不需要任何不同的公式。

首先贪婪地找到一个接近最佳的候选人。尝试通过交换成员在线性时间内对其进行细化。然后进行穷举搜索，但每当新候选者比贪婪候选者更差时停止以修剪搜索空间。

例如

1. 计算平均值
2. 按距离均值的平方对对象进行排序
3. 按此顺序测试所有长度为 k 的 n-k 个区间，选择最佳的
4. 对于任何未选择的对象，如果可以提高分数，请尝试将其与已选择的对象之一交换

现在您应该有一个相当不错的修剪候选对象了。

然后进行彻底的搜索，只要比这个候选人差就停下来。

注意：步骤 1-3 的灵感来自快速凸包算法。