在numpy中找到坐标之间的欧几里得差异

Question

我正在尝试使用以下代码使用 numpy 计算坐标之间的差异：

X = np.random.random((1000, 3))
# using broadcasting to calculate to find pairwise diffrence
diff = X.reshape(1000, 1, 3) - X
D = (diff**2).sum(2)

有人能解释一下上面两行是做什么的吗？我不明白这是如何计算坐标的欧几里德距离的。

Answer 1

第一个计算一个随机的1000×3矩阵，所有值都在0到1之间，所以行代表3D单位立方体中的点：

np.random.random((1000, 3))

接下来我们使用reshape，构造一个1000×1×3矩阵，X.reshape(1000, 1, 3)。

现在，当我们减去重构后的矩阵时，会发生一些在 numpy 中非常流行的事情：广播。所以我们有一个1000×1×3矩阵和一个1000×1×3矩阵。这意味着我们将通过假设重复第二维 1000 次来“炸毁”第一个矩阵。所以像这样的矩阵：

[[[x1, y1, z1]],
 [[x2, y2, z2]],
 ...
 [[xn, yn, zn]]]

现在会变成：

[[[x1, y1, z1], [x1, y1, z1], ..., [x1, y1, z1]],
 [[x2, y2, z2], [x2, y2, z2], ..., [x2, y2, z2]],
  ...         , ...              , ...          ,
 [[xn, yn, zn], [xn, yn, zn], ..., [xn, yn, zn]]]

每个三元组每行重复 n 次。

我们也炸毁了第二个矩阵，这样：

[[x1, y1, z1],
 [x2, y2, z2],
 ...
 [xn, yn, zn]]

（请注意，我们每行少了一对方括号），会爆炸到：

[[x1, y1, z1], [x2, y2, z2], ..., [xn, yn, zn],
 [x1, y1, z1], [x2, y2, z2], ..., [xn, yn, zn],
 ...         , ...,          ..., ...         ,
 [x1, y1, z1], [x2, y2, z2], ..., [xn, yn, zn]]

如果我们现在将两个矩阵相减，我们得到：

[[[x1-x1, y1-y1, z1-z1], [x1-x2, y1-y2, z1-z2], ..., [x1-xn, y1-yn, z1-zn]],
 [[x2-x1, y2-y1, z2-z1], [x2-x2, y2-y2, z2-z2], ..., [x2-xn, y2-yn, z2-zn]],
  ...         , ...              , ...          ,
 [[xn-x1, yn-y1, zn-z1], [xn-x2, yn-y2, zn-z2], ..., [xn-xn, yn-yn, zn-zn]]]

所以我们构造了一个1000×1000×3矩阵，其中第i,j个元素是一个包含点坐标差的三元组在行 i 处指定，并在行 j 处指定点的坐标。我们将该结果存储在diff。

接下来我们使用diff**2 来计算元素平方，所以现在：

(diff**2)[i, j] == array([(xi-xj)**2, (yi-yj)**2, (zi-zj)**2])

最后我们在那个矩阵上调用.sum(2)（这意味着axis=2）。这意味着我们对于(diff**2)的每一个元素都会对组件进行求和，那么：

((diff**2).sum())[i, j] == (xi-xj)**2 + (yi-yj)**2 + (zi-zj)**2

所以我们计算一个1000×1000矩阵，其中[i, j]-th元素是欧几里得距离的平方。请注意，我们不是计算欧几里得距离，而是计算它的平方。然而，我们可以通过在结果上应用np.sqrt(..) 来计算它，所以：

D = np.sqrt((diff**2).sum(2))  # Euclidean distance