在没有类型构造函数的情况下满足单子定律答案

【问题标题】：Satisfying monad laws without a type constructor在没有类型构造函数的情况下满足单子定律
【发布时间】：2012-08-17 21:20:21
【问题描述】：

给定例如像

这样的类型

data Tree a = Branch (Tree a) (Tree a)
            | Leaf a

我可以轻松地为 Functor、Applicative、Monad 等编写实例。

但如果“包含”类型是预先确定的，例如

data StringTree = Branch StringTree StringTree
                | Leaf String

我失去了编写这些实例的能力。

如果我要为我的 StringTree 类型编写函数

stringTreeReturn :: String -> StringTree
stringTreeBind   :: String -> (String -> StringTree) -> StringTree
stringTreeFail   :: String -> StringTree
-- etc.

满足单子定律，我还能说StringTree 是单子吗？

【问题讨论】：

fmap (const ()) 会导致什么结果？
您甚至可以使用stringTreeFMap :: (String -> String) -> (StringTree -> StringTree)，但要真正成为范畴论意义上的单子，您需要join :: m (m a) -> m a，这根本不适合。
只是出于好奇，你为什么不能直接定义：type StringTree = Tree String？
@GabrielGonzalez：我可以；这是一个纯粹的理论问题。
您不能为StringTree 编写Monad 实例，但我相信您仍然可以通过使用RebindableSyntax 语言扩展来使用do 糖。

标签： haskell monads functor category-theory

【解决方案1】：

不，那不是单子。想想看，你能不能写一个 monad m 所以只有 m String 是可能的？

【讨论】：

【解决方案2】：

没有。您正在查看 type 和 kind 之间的区别。简单地说，a kind 是 Haskell 对类型进行分类的方式，因此它是类型之上的抽象级别。 ghci 可以帮忙。

:type stringReturn
stringReturn :: String -> StringTree
:type Functor
<interactive>:1:1: Not in scope: data constructor `Functor'

所以马上，我们可以看到一个函数，它有一个类型，与一个类型，它有一个种类是完全不同的。

我们也可以向ghci询问种类。

:kind Functor
Functor (* -> *) -> Constraint
:kind StringTree
StringTree :: *
:kind Tree
Tree :: * -> *

种类使用* 表示其符号中的变量。我们可以从上面的交互中看到Functor 需要一个在一个参数上参数化的类型。我们还可以看到StringTree不带任何参数，Tree带一个。

这是表达和解开你的问题的一个漫长的过程，但希望它能够显示类型和种类之间的区别。

【讨论】：

“A Gentle Introduction to Haskell, Version 98”中的“Type Classes and Overloading”部分简要介绍了kind，如果有帮助的话。

【解决方案3】：

Tree a 不是一个 monad，一般来说或对于任何特定的a，Tree 本身是一个 monad。 monad 不是类型，它是 any 类型和该类型的“monadic 版本”之间的对应关系。例如，Integer 是整数类型，Maybe Integer 是 Maybe monad 中的整数类型。

因此，StringTree 是一种类型，不能是 monad。它只是不一样的东西。您可以尝试将其想象为 monad 中的字符串类型，但您的函数 stringTreeReturn 等与它们的 monad 对应对象的类型不匹配。查看Maybe monad 中>>= 的类型：

Maybe a -> (a -> Maybe b) -> Maybe b

第二个参数是从a 到Maybe monad (Maybe b) 中的any 类型的函数。 stringTreeBind 的类型为：

String -> (String -> StringTree) -> StringTree

第二个参数只能是从String到String的一元版本的函数，而不是任何类型的一元版本。

因此，对于StringTree 值，您不能对任意一元类型的值做所有可以做的事情，这就是为什么不能将其作为实例的原因。即使您可以以某种方式将其视为 monad，但当泛型 monadic 代码期望能够以对 StringTree 没有意义的方式使用泛型 monadic 操作时，事情就会开始出错。

最终，如果你认为它“像”一个 monad，因为它在一个容器中的 String 的行为类似于 monadic 容器，那么最简单的做法就是让它成为任何类型的通用容器（ Tree a)。如果您需要具有专门依赖于它作为字符串树的辅助功能，那么您可以将该代码编写为仅对 Tree String 值进行操作，并且它将很高兴地与通常在 Tree a 上工作的代码共存。

【讨论】：