复数函子和monad的含义和用法？

【问题标题】：Meaning and usage of complex number functor and monad?复数函子和monad的含义和用法？
【发布时间】：2018-04-21 05:18:26
【问题描述】：

当我从 GHC Data.Complex 模块中阅读 Applicative Complex 和 Monad Complex 实例的源代码时，我有点惊讶：

-- | @since 4.9.0.0
instance Applicative Complex where
  pure a = a :+ a
  f :+ g <*> a :+ b = f a :+ g b
  liftA2 f (x :+ y) (a :+ b) = f x a :+ f y b

-- | @since 4.9.0.0
instance Monad Complex where
  a :+ b >>= f = realPart (f a) :+ imagPart (f b)

什么...？ Applicative Complex 实例似乎将复数视为大小为 2 的数组。而且它们看起来更像是箭头操作。它们背后有什么数学基础吗？有没有，有什么用？

【问题讨论】：

它们是守法的实例，所以它们没有理由不存在（这是“数学”基础）
所以与复分析无关，复数在这里只是大小为 2 的数组？
复数是，在某种意义上，只是大小为2的数组。ℂ与ℝ²同构。

标签： haskell monads functor complex-numbers applicative

【解决方案1】：

编辑在底部添加注释：“线性”包。

实例是根据a mailing list post 发起的Trac 10609 ticket 添加的，其中 Fumiaki Kinoshita 注意到基础库中缺少一些似乎只能通过一种方式定义的实例，并提出了一个补丁来添加它们。

据我所知，将它们相加并没有数学动机，尽管至少有一个数学上有意义的运算可以应用表示，即标量乘法：

> pure (*) <*> pure 2 <*> (3 :+ 4)
6 :+ 8
>

在上述邮件列表帖子的 follow-up 中，Edward Kmett 指出他赞成，因为多年来他不得不将 Complex 的孤儿实例添加到他的 linear 包中以弥补缺失实例。

看起来他发现它们在为Complex 定义Additive 实例时很有用，因此基本上使Complex 成为二维向量的特例。

【讨论】：

为什么使用pure f <*> pure a <*> b 而不是f a <$> b？