最佳页面替换 (OPT) 的证明

Question

我需要证明最优页面替换算法确实是最优的，我不确定如何开始。我想也许可以通过矛盾来证明，但是一旦我提出了一个替代声明，我不确定如何证明它的页面错误与 OPT 相同或更少。

Answer 1

这是明天的 CSE 330 决赛吗？

Answer 2

最长前进距离 (LFD)

• 替换下一个请求最远（未来）的页面

定理：

• LFD（最长前向距离）是一种最佳算法。

证明：

• 为了矛盾，假设 LFD 不是最优的
• 那么存在一个有限输入序列 α，LFD 不在其上 最优（假设 α 的长度为 | α| = n）
• 令 OPT 成为 α 的最优解，使得

– OPT 处理请求 1,2, ..., i 的方式与 LFD 相同

– OPT 处理请求 i+1 的方式与 LFD 不同

– 任何其他最优策略处理前 i+1 个请求中的一个请求的方式与 LDF 不同

• 因此，OPT 是最优解，其行为方式与 LFD 相同 尽可能久 --> 我们有 i

• 目标： 构造与请求的 LFD 相同的 OPT'。 1, ... , i+1

案例 1： 请求 i+1 不会导致页面错误

• LFD 不会改变快速存储器的内容

• OPT 的行为与 LFD 不同 --> OPT 替换了快速内存中的某些页面

– 直到请求 i+1，两种算法的行为方式相同，它们也具有相同的快速内存内容

– OPT 因此不需要新页面来请求 i+1

– 因此，OPT 也可以稍后加载该页面（无需额外费用）--> OPT'

案例 2： 请求 i+1 确实会导致页面错误

• LFD 和 OPT 将同一个页面移动到快速内存中，但它们驱逐不同的页面

--如果OPT加载不止一页，请求i+1不需要的所有页面也可以稍后加载

• 比如说，LFD 驱逐页面 p 和 OPT 驱逐页面 p'

• 根据LFD的定义，在页面p之前又需要p'

现在，有两种情况：-

a) OPT 将 p 保存在快速内存中，直到请求 ℓ

– OPT 可以在请求 i+1 时驱逐 p，保留 p' 并在请求 ℓ 时将 p（而不是 p'）加载回快速内存，无需额外费用，类似于 LFD

b) OPT 应请求驱逐 p ℓ'

– OPT 可以在请求 i+1 时驱逐 p，保留 p' 并加载 p，同时在请求 ℓ' 时驱逐 p'（切换 p 和 p' 的驱逐），再次类似于 LFD

所以，OPT 并不是比 LFD 更好的解决方案。

即，LFD 是最佳页面替换技术。

LFD 也称为优化页面替换技术（OPT）。

PS：在证明中，名称“OPT”仅用作“名称”，不要将其与最佳页面替换技术混淆。