估计两个时间序列之间的小时间偏移

Question

我有两个时间序列，我怀疑它们之间存在时间偏移，我想估计这个时间偏移。

这个问题之前已经被问过： Find phase difference between two (inharmonic) waves 和 find time shift between two similar waveforms 但在我的情况下，时间偏移小于数据的分辨率。例如，数据按小时分辨率提供，时间偏移只有几分钟（见图）。

造成这种情况的原因是用于测量其中一个系列的数据记录器在时间上有几分钟的变化。

有什么算法可以估计这种变化，最好不使用插值？

Answer 1

这是一个非常有趣的问题。这是使用傅立叶变换的部分解决方案的尝试。这依赖于适度周期性的数据。我不确定它是否适用于您的数据（端点的导数似乎不匹配）。

import numpy as np

X = np.linspace(0,2*np.pi,30)  #some X values

def yvals(x):
    return np.sin(x)+np.sin(2*x)+np.sin(3*x)

Y1 = yvals(X)
Y2 = yvals(X-0.1)  #shifted y values

#fourier transform both series
FT1 = np.fft.fft(Y1)
FT2 = np.fft.fft(Y2)

#You can show that analyically, a phase shift in the coefficients leads to a 
#multiplicative factor of `exp(-1.j * N * T_d)`

#can't take the 0'th element because that's a division by 0.  Analytically, 
#the division by 0 is OK by L'hopital's<sp?> rule, but computers don't know calculus :)
print np.log(FT2[1:]/FT1[1:])/(-1.j*np.arange(1,len(X)))

对打印输出的快速检查表明，频率最高的 power (N=1,N=2) 给出合理的估计，如果你看一下 N=3 也可以 绝对值（np.absolute），虽然我不知道为什么会这样。

也许更熟悉数学的人可以从这里得到更好的答案...

Answer 2

您提供的其中一个链接有正确的想法（实际上我在这里做的几乎相同）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import correlate

a,b, N = 0, 10, 1000        #Boundaries, datapoints
shift = -3                  #Shift, note 3/10 of L = b-a

x = np.linspace(a,b,N)
x1 = 1*x + shift
time = np.arange(1-N,N)     #Theoritical definition, time is centered at 0

y1 = sum([np.sin(2*np.pi*i*x/b) for i in range(1,5)])
y2 = sum([np.sin(2*np.pi*i*x1/b) for i in range(1,5)])

#Really only helps with large irregular data, try it
# y1 -= y1.mean()
# y2 -= y2.mean()
# y1 /= y1.std()
# y2 /= y2.std()

cross_correlation = correlate(y1,y2)
shift_calculated = time[cross_correlation.argmax()] *1.0* b/N
y3 = sum([np.sin(2*np.pi*i*(x1-shift_calculated)/b) for i in range(1,5)])
print "Preset shift: ", shift, "\nCalculated shift: ", shift_calculated



plt.plot(x,y1)
plt.plot(x,y2)
plt.plot(x,y3)
plt.legend(("Regular", "Shifted", "Recovered"))
plt.savefig("SO_timeshift.png")
plt.show()

这有以下输出：

Preset shift:  -3
Calculated shift:  -2.99

可能需要检查

1. Scipy Correlate
2. Time Delay Analaysis

注意，相关的argmax()显示了对齐的位置，它必须按b-a = 10-0 = 10和N的长度缩放才能得到实际值。

检查 correlate Source 的来源，从 sigtools 导入的函数的行为并不完全清楚。对于大型数据集，循环相关（通过快速傅立叶变换）比直接方法快得多。我怀疑这是在 sigtools 中实现的，但我不能确定。在我的 python2.7 文件夹中搜索该文件仅返回编译后的 C pyd 文件。

Answer 3

这是一个非常有趣的问题。最初，我打算建议一个类似于 user948652 的基于互相关的解决方案。但是，根据您的问题描述，该解决方案存在两个问题：

1. 数据的分辨率大于时移，且
2. 在某些日子里，预测值和测量值之间的相关性非常低

由于这两个问题，我认为直接应用互相关解决方案实际上可能会增加您的时间偏移，尤其是在预测值和测量值彼此相关性非常低的日子。

在我上面的评论中，我问你是否有任何事件发生在两个时间序列中，你说你没有。但是，根据您的域，我认为您实际上有两个：

1. 日出
2. 日落

即使信号的其余部分相关性很差，日出和日落也应该有一定的相关性，因为它们会从夜间基线单调增加/减少。因此，这里有一个基于这两个事件的潜在解决方案，它既应该最小化所需的插值，又不依赖于相关性差的信号的互相关。

1.查找大致的日出/日落

这应该很容易，只需获取高于夜间时间平线的第一个和最后一个数据点，并将它们标记为大致的日出和日落。然后，我会关注这些数据，以及两边的点，即：

width=1
sunrise_index = get_sunrise()
sunset_index = get_sunset()

# set the data to zero, except for the sunrise/sunset events.
bitmap = zeros(data.shape)
bitmap[sunrise_index - width : sunrise_index + width] = 1
bitmap[sunset_index - width : sunset_index + width] = 1
sunrise_sunset = data * bitmap 

有几种方法可以实现get_sunrise() 和get_sunset()，具体取决于您在分析中需要的严格程度。我会使用numpy.diff，将其设为特定值，然后取高于该值的第一个和最后一个点。您还可以从大量文件中读取夜间数据，计算平均值和标准偏差，并查找超过夜间数据的第一个和最后一个数据点，例如，0.5 * st_dev。您还可以进行某种基于集群的模板匹配，特别是如果不同类别的一天（即晴天、部分阴天和非常多云）具有高度刻板的日出/日落事件。

2。重采样数据

我认为没有任何插值可以解决这个问题。我会使用比移位更高的采样率重新采样数据。如果班次以分钟为单位，则上采样到 1 分钟或 30 秒。

num_samples = new_sample_rate * sunrise_sunset.shape[0]
sunrise_sunset = scipy.signal.resample(sunrise_sunset, num_samples)

或者，我们可以使用三次样条来插入数据（请参阅here）。

3.高斯卷积

由于有一些插值，所以我们不知道实际日出和日落的预测有多精确。所以，我们可以用高斯对信号进行卷积，来表示这种不确定性。

gaussian_window = scipy.signal.gaussian(M, std)
sunrise_sunset_g = scipy.signal.convolve(sunrise_sunset, gaussian_window)

4.互相关

使用user948652的答案中的互相关方法获得时间偏移。

此方法中存在许多未解决的问题，需要对数据进行检查和实验才能更具体地确定，例如识别日出/日落的最佳方法是什么、高斯窗口应该有多宽等.但这是我将如何开始攻击的问题。 祝你好运！

Answer 4

确实，有趣的问题，但还没有令人满意的答案。让我们尝试改变它...

您说您不喜欢使用插值，但是，正如我从您的评论中了解到的那样，您的真正意思是您希望避免上采样到更高分辨率。一个基本的解决方案是利用最小二乘拟合线性插值函数，但没有上采样到更高分辨率：

import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
from scipy.optimize import leastsq

def yvals(x):
    return np.sin(x)+np.sin(2*x)+np.sin(3*x)

dx = .1
X = np.arange(0,2*np.pi,dx)
Y = yvals(X)

unknown_shift = np.random.random() * dx
Y_shifted = yvals(X + unknown_shift)

def err_func(p):
    return interp1d(X,Y)(X[1:-1]+p[0]) - Y_shifted[1:-1]

p0 = [0,] # Inital guess of no shift
found_shift = leastsq(err_func,p0)[0][0]

print "Unknown shift: ", unknown_shift
print "Found   shift: ", found_shift

一个样本运行给出了一个相当准确的解决方案：

Unknown shift:  0.0695701123582
Found   shift:  0.0696105501967

如果在移动的 Y 中包含噪声：

Y_shifted += .1*np.random.normal(size=X.shape)

得到的结果不太精确：

Unknown shift:  0.0695701123582
Found   shift:  0.0746643381744

当有更多数据可用时，存在噪声时的准确性会提高，例如与：

X = np.arange(0,200*np.pi,dx)

一个典型的结果是：

Unknown shift:  0.0695701123582
Found   shift:  0.0698527939193

Answer 5

我已成功使用（在 awgn 通道中）匹配滤波器方法，它在索引 n 处给出峰值能量 m[n]；然后将二次多项式 f(n) 拟合到 m[n-1], m[n], m[n+1] 并通过设置 f'(n)==0 找到最小值。

响应不一定是绝对线性的，特别是如果信号的自相关在 m[n-1]、m[n+1] 处不消失。

Answer 6

优化以获得最佳解决方案

对于给定的约束，即解的相移比采样方法少一点，简单的下坡单纯形算法效果很好。我已经修改了@mgilson 的示例问题来展示如何做到这一点。请注意，此解决方案是稳健的，因为它可以处理噪声。

错误函数：可能有更优化的东西需要优化，但效果出奇的好：

np.sqrt((X1-X2+delta_x)**2+(Y1-Y2)**2).sum()

即只通过调整x轴（相位）来最小化两条曲线之间的欧式距离。

import numpy as np

def yvals(x):
    return np.sin(x)+np.sin(2*x)+np.sin(3*x)

dx = .1
unknown_shift = .03 * np.random.random() * dx

X1  = np.arange(0,2*np.pi,dx)  #some X values
X2  = X1 + unknown_shift

Y1 = yvals(X1)
Y2 = yvals(X2) # shifted Y
Y2 += .1*np.random.normal(size=X1.shape)  # now with noise

def err_func(p):
    return np.sqrt((X1-X2+p[0])**2+(Y1-Y2)**2).sum()

from scipy.optimize import fmin

p0 = [0,] # Inital guess of no shift
found_shift = fmin(err_func, p0)[0]

print "Unknown shift: ", unknown_shift
print "Found   shift: ", found_shift
print "Percent error: ", abs((unknown_shift-found_shift)/unknown_shift)

一个示例运行给出：

Optimization terminated successfully.
         Current function value: 4.804268
         Iterations: 6
         Function evaluations: 12
Unknown shift:  0.00134765446268
Found   shift:  0.001375
Percent error:  -0.0202912082305