Swift 中的小数到分数转换

Question

我正在构建一个计算器，并希望它自动将每个小数转换为分数。因此，如果用户计算答案为“0.333333...”的表达式，它将返回“1/3”。对于“0.25”，它将返回“1/4”。使用 GCD，在这里找到 (Decimal to fraction conversion)，我已经想出了如何将任何有理的终止小数转换为小数，但这不适用于任何重复的小数（如 .333333）。

堆栈溢出的所有其他函数都在 Objective-C 中。但我需要在我的 swift 应用程序中使用一个函数！所以这个 (https://stackoverflow.com/a/13430237/5700898) 的翻译版本会很好！

任何关于如何将有理小数或重复/无理小数转换为分数（即将“0.1764705882...”转换为 3/17）的想法或解决方案都会很棒！

Answer 1

如果要将计算结果显示为有理数 那么唯一 100% 正确的解决方案是在所有计算中使用 有理算术，即所有中间值都存储为一对整数 (numerator, denominator)，所有加法、乘法、除法等都使用理性的规则 数字。

一旦将结果分配给二进制浮点数 如Double，信息丢失。例如，

let x : Double = 7/10

存储在x 中的一个近似 0.7，因为这个数字不能 完全表示为Double。来自

print(String(format:"%a", x)) // 0x1.6666666666666p-1

可以看到x持有值

0x16666666666666 * 2^(-53) = 6305039478318694 / 9007199254740992
                           ≈ 0.69999999999999995559107901499373838305

因此，x 的正确表示为有理数 6305039478318694 / 9007199254740992，但这当然不是什么 你期望。你期待的是7/10，但是还有一个问题：

let x : Double = 69999999999999996/100000000000000000

将完全相同的值分配给x，它与 0.7 在 Double 的精度范围内。

那么x 应该显示为7/10 还是69999999999999996/100000000000000000？

如上所述，使用有理算术将是完美的解决方案。 如果这不可行，那么您可以将Double 转换回 具有给定精度的有理数。 （以下摘自Algorithm for LCM of doubles in Swift。）

Continued Fractions 是创建（有限或无限）分数序列的有效方法 h_n/k_n 是给定实数的任意良好近似数字 x, 这是 Swift 中可能的实现：

typealias Rational = (num : Int, den : Int)

func rationalApproximationOf(x0 : Double, withPrecision eps : Double = 1.0E-6) -> Rational {
    var x = x0
    var a = floor(x)
    var (h1, k1, h, k) = (1, 0, Int(a), 1)

    while x - a > eps * Double(k) * Double(k) {
        x = 1.0/(x - a)
        a = floor(x)
        (h1, k1, h, k) = (h, k, h1 + Int(a) * h, k1 + Int(a) * k)
    }
    return (h, k)
}

例子：

rationalApproximationOf(0.333333) // (1, 3)
rationalApproximationOf(0.25)     // (1, 4)
rationalApproximationOf(0.1764705882) // (3, 17)

默认精度为 1.0E-6，但您可以根据需要进行调整：

rationalApproximationOf(0.142857) // (1, 7)
rationalApproximationOf(0.142857, withPrecision: 1.0E-10) // (142857, 1000000)

rationalApproximationOf(M_PI) // (355, 113)
rationalApproximationOf(M_PI, withPrecision: 1.0E-7) // (103993, 33102)
rationalApproximationOf(M_PI, withPrecision: 1.0E-10) // (312689, 99532)

---

Swift 3 版本：

typealias Rational = (num : Int, den : Int)

func rationalApproximation(of x0 : Double, withPrecision eps : Double = 1.0E-6) -> Rational {
    var x = x0
    var a = x.rounded(.down)
    var (h1, k1, h, k) = (1, 0, Int(a), 1)

    while x - a > eps * Double(k) * Double(k) {
        x = 1.0/(x - a)
        a = x.rounded(.down)
        (h1, k1, h, k) = (h, k, h1 + Int(a) * h, k1 + Int(a) * k)
    }
    return (h, k)
}

例子：

rationalApproximation(of: 0.333333) // (1, 3)
rationalApproximation(of: 0.142857, withPrecision: 1.0E-10) // (142857, 1000000)

或者——正如@brandonscript 所建议的——使用struct Rational 和一个初始化器：

struct Rational {
    let numerator : Int
    let denominator: Int

    init(numerator: Int, denominator: Int) {
        self.numerator = numerator
        self.denominator = denominator
    }

    init(approximating x0: Double, withPrecision eps: Double = 1.0E-6) {
        var x = x0
        var a = x.rounded(.down)
        var (h1, k1, h, k) = (1, 0, Int(a), 1)

        while x - a > eps * Double(k) * Double(k) {
            x = 1.0/(x - a)
            a = x.rounded(.down)
            (h1, k1, h, k) = (h, k, h1 + Int(a) * h, k1 + Int(a) * k)
        }
        self.init(numerator: h, denominator: k)
    }
}

示例用法：

print(Rational(approximating: 0.333333))
// Rational(numerator: 1, denominator: 3)

print(Rational(approximating: .pi, withPrecision: 1.0E-7))
// Rational(numerator: 103993, denominator: 33102)

Answer 2

这里有点晚了，但我遇到了类似的问题，最终构建了 Swift FractionFormatter。这是有效的，因为您关心的大多数无理数都是粗俗或常见分数集的一部分，并且很容易验证正确的转换。其余的可能会或可能不会四舍五入，但您非常接近用户可能生成的任何合理分数。它旨在替代 NumberFormatter。

Answer 3

正如Martin R 所说，进行 (99.99%) 精确计算的唯一方法是从头到尾用有理数计算所有内容。

创建这个类的原因也是我需要非常准确的计算，而这对于 swift 提供的类型是不可能的。所以我创建了自己的类型。

这是代码，我将在下面解释。

class Rational {

   var alpha = 0
   var beta = 0

   init(_ a: Int, _ b: Int) {
       if (a > 0 && b > 0) || (a < 0 && b < 0) {
           simplifier(a,b,"+")
       }
       else {
           simplifier(a,b,"-")
       }
   }

   init(_ double: Double, accuracy: Int = -1) {
       exponent(double, accuracy)
   }

   func exponent(_ double: Double, _ accuracy: Int) {
       //Converts a double to a rational number, in which the denominator is of power of 10.

       var exp = 1
       var double = double

       if accuracy != -1 {
           double = Double(NSString(format: "%.\(accuracy)f" as NSString, double) as String)!
       }

       while (double*Double(exp)).remainder(dividingBy: 1) != 0 {
           exp *= 10
       }

       if double > 0 {
           simplifier(Int(double*Double(exp)), exp, "+")
       }
       else {
           simplifier(Int(double*Double(exp)), exp, "-")
       }

   }

   func gcd(_ alpha: Int, _ beta: Int) -> Int {
       // Calculates 'Greatest Common Divisor'

       var inti: [Int] = []
       var multi = 1
       var a = Swift.min(alpha,beta)
       var b = Swift.max(alpha,beta)

           for idx in 2...a {
               if idx != 1 {
                   while (a%idx == 0 && b%idx == 0) {
                       a = a/idx
                       b = b/idx
                       inti.append(idx)
                   }
               }
           }
       inti.map{ multi *= $0 }
       return multi
   }


   func simplifier(_ alpha: Int, _ beta: Int, _ posOrNeg: String) {
       //Simplifies nominator and denominator (alpha and beta) so they are 'prime' to one another.

       let alpha = alpha > 0 ? alpha : -alpha
       let beta = beta > 0 ? beta : -beta

       let greatestCommonDivisor = gcd(alpha,beta)

       self.alpha = posOrNeg == "+" ? alpha/greatestCommonDivisor : -alpha/greatestCommonDivisor
       self.beta = beta/greatestCommonDivisor
   }

}

typealias Rnl = Rational

func *(a: Rational, b: Rational) -> Rational {

   let aa = a.alpha*b.alpha
   let bb = a.beta*b.beta

   return Rational(aa, bb)

}

func /(a: Rational, b: Rational) -> Rational {

   let aa = a.alpha*b.beta
   let bb = a.beta*b.alpha

   return Rational(aa, bb)

}

func +(a: Rational, b: Rational) -> Rational {

   let aa = a.alpha*b.beta + a.beta*b.alpha
   let bb = a.beta*b.beta

   return Rational(aa, bb)

}

func -(a: Rational, b: Rational) -> Rational {

   let aa = a.alpha*b.beta - a.beta*b.alpha
   let bb = a.beta*b.beta

   return Rational(aa, bb)

}

extension Rational {

   func value() -> Double {
       return Double(self.alpha) / Double(self.beta)
   }

}

extension Rational {

   func rnlValue() -> String {

       if self.beta == 1 {
           return "\(self.alpha)"
       }
       else if self.alpha == 0  {
           return "0"
       }
       else {
           return "\(self.alpha) / \(self.beta)"
       }
   }

}

// examples:

let first = Rnl(120,45)
let second = Rnl(36,88)
let third = Rnl(2.33435, accuracy: 2)
let forth = Rnl(2.33435)

print(first.alpha, first.beta, first.value(), first.rnlValue()) // prints  8   3   2.6666666666666665   8 / 3
print((first*second).rnlValue()) // prints  12 / 11
print((first+second).rnlValue()) // prints  203 / 66
print(third.value(), forth.value()) // prints  2.33   2.33435

首先，我们有类本身。可以通过两种方式初始化该类：

在 Rational 类中，alpha ~= nominator & beta ~= denominator

第一种方法是使用两个整数来初始化类，第一种是指定者，第二种是分母。该类获取这两个整数，然后将它们减少到尽可能少的数字。例如，将 (10,5) 简化为 (2,1)，或者作为另一个示例，将 (144, 60) 简化为 (12,5)。这样，总是存储最简单的数字。 这可以使用 gcd（最大公约数）函数和简化函数来实现，从代码中不难理解。 唯一的问题是这个类面临一些负数的问题，所以它总是保存最终的有理数是负数还是正数，如果它是负数，它就会使提名者为负数。

第二种初始化类的方法是使用双精度数和一个称为“准确度”的可选参数。该类获得双精度，以及您需要小数点后多少数字的准确性，并将双精度转换为提名/分母形式，其中分母是 10 的幂。例如 2.334 将是 2334/1000 或 342.57将是 34257/100。然后尝试使用 #1 中解释的相同方法来简化有理数。

在类定义之后，有类型别名'Rnl'，你显然可以随意改变它。

然后有 4 个函数，用于数学的 4 个主要动作：* / + -，我这样定义，例如您可以轻松地将两个 Rational 类型的数字相乘。

之后，Rational 类型有 2 个扩展，第一个 ('value') 为您提供 Rational 数的 double 值，第二个 ('rnlValue') 以 a 的形式为您提供 Rational 数人类可读的字符串：“nominator / denominator”

最后，您可以看到所有这些工作原理的一些示例。