我如何证明 f64::from_bits(0x3fe9000000000000 u64 ) == 0.781250 f64答案

【问题标题】：How can I justify that f64::from_bits(0x3fe9000000000000 u64 ) == 0.781250 f64我如何证明 f64::from_bits(0x3fe9000000000000 u64 ) == 0.781250 f64
【发布时间】：2020-02-16 04:50:56
【问题描述】：

我用第二个问题稍微修改了原始消息：

一位 C++ 专家建议我检查一下： https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/bit_cast

更好地理解double、memcpy和bit_cast (C++20)的表示。

在这里更具体地说，我试图理解为什么我们会从代码中得到这个结果：

    constexpr std::uint64_t u64v2 = 0x3fe9000000000000ull;
    constexpr auto f64v2 = std::bit_cast<double>(u64v2);

"f64::from_bits(0x3fe9000000000000u64) == 0.781250f64"

在此之前，我花时间研究了快速反平方根示例中提供的示例。

https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root#CITEREFGoldberg1991

我手动进行了微积分，结果我终于意识到在这种特定情况下会发生什么，指数为 8 位，尾数为 23 位。

但在我上面提到的bit_cast 的应用示例中，根据我的研究，指数似乎是 11 位，尾数是 52 位（双精度）： https://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format

当我手工计算时，我发现

x = (1+Mx/L)*2^(Ex-B)

与

 L=2^52 and Ex = 2*(2^9- 1) with the notations of

https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root#CITEREFGoldberg1991

我没有找到公布的 `0.781250 的结果。也许我选择的指数和尾数不正确。我不知道，但我真的很想了解会发生什么。

提前感谢您的解释，以帮助找到0.781250

第二个问题：请您检查我在下面提出的问题作为对评论的回复，因为即使我对第一个示例也有挑战。提前致谢

【问题讨论】：

标签： floating-point hex double precision fixed

【解决方案1】：

对于3fe9000000000000，第一位（零）是符号位，所以我们可以忽略它（它是正数）。

接下来的 11 位是 011.1111.1110 (3fe)，它是 1022，但被 1023 向下调整以处理负指数。因此它是-1，它为您提供2-1 或0.5 的乘数。

尾数位是1001000..0（十六进制数的9000..0）。前四位等于值0.5、0.25、0.0125 和0.0625（每次减半）。由于只设置了第一位和第四位，因此您会得到0.5 + 0.0625 = 0.5625。

按照 IEEE754 的要求，将隐式 1 添加到该数字，您将得到一个基值 1.5625。当它乘以之前计算的乘数时，您会得到：

1.5625 x 0.5 = 0.78125

所以这就是你如何获得你的价值。

可以在IEEE754-1985 Wikipedia page 上找到更多详细信息，您可以尝试使用Harald Schmidt's excellent online converter，这是一个非常有用的工具，我构建了自己的副本来处理双精度（不幸的是，不是在网络上，它是用于桌面的 Java 应用程序）。它真的确实帮助了我很多理解。

您可能还想查看我在 IEEE754 上给出的 some other answers，尤其是 this one。

关于你在评论中提到的位模式，0x4172f58bc0000000（你说应该是19880124，但计算别的东西），这是你如何转换它：

4---> 1--> 7-->   2--> f--> 5--> 8--> b--> c--> (<- hex digits)
s eee eeee eeee   mmmm mmmm mmmm mmmm mmmm mmmm
0 100 0001 0111   0010 1111 0101 1000 1011 1100 (<- then all zeroes)
  v      v  vvv     |  ||||  | | |    | || ||            1/n
  1      1  421     |  ||||  | | |    | || |+-------- 4,194,304
  0      6          |  ||||  | | |    | || +--------- 2,097,152
  2                 |  ||||  | | |    | |+----------- 1,048,576
  4                 |  ||||  | | |    | +------------   524,288
                    |  ||||  | | |    +--------------   131,072
                    |  ||||  | | +-------------------     8,192
                    |  ||||  | +---------------------     4,096
                    |  ||||  +-----------------------     1,024
                    |  |||+--------------------------       256
                    |  ||+---------------------------       128
                    |  |+----------------------------        64
                    |  +-----------------------------        32
                    +--------------------------------         8

符号为正。

指数是1,024 + 16 + 4 + 2 + 1 = 1,047 - 1,023 bias = 24，所以乘数是224或16,777,216。

尾数位相加，每个位加上1/2n 为n 从1 开始并向右增加：

1/4,194,304, 1/2,078,152, 1/1,048,576, 1/524,288, 1/131,072, 1/8,192, 1/4,096, 1/256, 1/128, 1/64, 1/32，和 1/8.

当您将所有这些与隐式 1 相加时，您将得到 1.1849477291107177734375。

那么，它和之前计算的乘数 16,777,216 的乘积就是你想要的值，19,880,124‬。

【讨论】：

非常感谢您的详细解释。我现在理解得更好了。我在计算偏差指数 L 时出错。我拿了2^11 - 1，而我应该拿2^10 - 1。
晚上好，我继续阅读页面并进行验证。好像有误？因为这是写的（对于第一个示例）： 19880124.000000f64.to_bits() == 0x4172f58bc0000000u64 我手动验证，似乎它是错误的。这将是：12f58bc0000000。您能否确认我所说的或纠正我并解释（如果我错了）？谢谢
@Dev，我在末尾添加了一点，展示了如何执行该特定位模式。希望对您有所帮助。
我的问题是相反的：我们如何从19,880,124 获得 0x4172f58bc0000000u64 ？谢谢。是的，另一种感觉对我来说很容易，作为我发送的第一个示例
@Dev，如果你搜索ieee754 how to turn decimal number into bit pattern，YouTube 上有很多不错的视频。它基本上是转换为二进制分数，然后标准化为二进制科学记数法。

【解决方案2】：

您的号码在 IEEE-745 DP 格式中的布局如下：

                  6    5          4         3         2         1         0
                  3 21098765432 1098765432109876543210987654321098765432109876543210
                  S ----E11---- ------------------------F52-------------------------
          Binary: 0 01111111110 1001000000000000000000000000000000000000000000000000
             Hex: 3FE9 0000 0000 0000
       Precision: DP
            Sign: Positive
        Exponent: -1 (Stored: 1022, Bias: 1023)
       Hex-float: +0x1.9p-1
           Value: +0.78125 (NORMAL)

【讨论】：