Numpy dot 对对称乘法太聪明了

Question

有人知道这种行为的文档吗？

import numpy as np
A  = np.random.uniform(0,1,(10,5))
w  = np.ones(5)
Aw = A*w
Sym1 = Aw.dot(Aw.T)
Sym2 = (A*w).dot((A*w).T)
diff = Sym1 - Sym2

diff.max() 接近机器精度非零，例如4.4e-16.

这（与 0 的差异）通常很好......在有限精度的世界中，我们不应该感到惊讶。

此外，我猜 numpy 对对称产品很聪明，以节省失败并确保对称输出......

但我处理的是混沌系统，并且当调试时，这个小差异很快就会变得明显。所以我想知道到底发生了什么。

Answer 1

我怀疑这与将中间浮点寄存器提升到 80 位精度有关。在某种程度上证实了这个假设，如果我们使用更少的浮点数，我们的结果总是会得到 0，ala

A  = np.random.uniform(0,1,(4,2))
w  = np.ones(2)
Aw = A*w
Sym1 = Aw.dot(Aw.T)
Sym2 = (A*w).dot((A*w).T)
diff = Sym1 - Sym2
# diff is all 0's (ymmv)

Answer 2

此行为是在 pull request #6932 中为 NumPy 1.11.0 引入的更改的结果。来自release notes 1.11.0：

以前，gemm BLAS 操作用于所有矩阵产品。 现在，如果矩阵乘积在一个矩阵和它的转置之间，它 将使用 syrk BLAS 操作来提高性能。这 优化已扩展到@、numpy.dot、numpy.inner 和 numpy.matmul.

在该 PR 的更改中，可以找到 this comment：

/*
 * Use syrk if we have a case of a matrix times its transpose.
 * Otherwise, use gemm for all other cases.
 */

因此，NumPy 正在对矩阵乘以它的转置的情况进行显式检查，并在这种情况下调用不同的底层 BLAS 函数。正如@hpaulj 在评论中指出的那样，这样的检查对于 NumPy 来说很便宜，因为转置的 2d 数组只是原始数组的视图，具有倒置的形状和步幅，因此检查数组上的一些元数据就足够了（而不必比较实际的数组数据）。

这里有一个稍微简单的案例来显示差异。请注意，在 dot 的参数之一上使用 .copy 足以击败 NumPy 的特殊情况。

import numpy as np
random = np.random.RandomState(12345)
A = random.uniform(size=(10, 5))
Sym1 = A.dot(A.T)
Sym2 = A.dot(A.T.copy())
print(abs(Sym1 - Sym2).max())

我想这种特殊情况的一个优势，除了明显的加速潜力之外，是保证您（我希望，但实际上它取决于 BLAS 实现）获得完美的使用syrk 时的对称结果，而不是仅对数值误差对称的矩阵。作为一个（诚然不是很好）测试，我尝试了：

import numpy as np
random = np.random.RandomState(12345)
A = random.uniform(size=(100, 50))
Sym1 = A.dot(A.T)
Sym2 = A.dot(A.T.copy())
print("Sym1 symmetric: ", (Sym1 == Sym1.T).all())
print("Sym2 symmetric: ", (Sym2 == Sym2.T).all())

我的机器上的结果：

Sym1 symmetric:  True
Sym2 symmetric:  False