浮点计算中的估计误差答案

【问题标题】：Estimate error in floating point calculations浮点计算中的估计误差
【发布时间】：2012-04-29 03:06:01
【问题描述】：

IEEE 浮点数学的一个重要特性是，由于位数有限和 base-2 格式，舍入会导致计算中的“错误”。

例如在 C# 中：

(Math.PI * 1e20 / 1e20) == Math.PI; // false

有没有办法确定这些操作的误差幅度？ .NET 公开了Double.Epsilon 字段，该字段给出大于零的最小有效值，但这与比较非零数字无关。

编辑：我不是要一种方法来准确地计算误差，我只是想找到一种方法来估计它的大小。

例如（同样，在 C# 中）：

(1e20 + 1e3) == 1e20; // true
(1e20 + 1e4) == 1e20; // false

所以1e20 + X 操作的误差似乎约为 1e3，这是有道理的，因为doubles 具有多达 17 位的十进制精度。

【问题讨论】：

我想你应该只根据你的计算来计算误差估计。您可以在这里找到一些有用的信息：stackoverflow.com/questions/3166851/….
误差是离散和累积的，每次计算都可能出现也可能不出现。预测或计算每次计算的确切误差将非常耗时（您必须对另一个任意精度进行软件计算才能做到这一点），但可以做到。您也可以使用支持 80 位扩展精度浮点数的 delphi 之类的东西来做到这一点。
@Lucas：“根据你的计算计算误差估计”是什么意思？
@Henry：我的意思是，当您在算法中进行特定计算时（即当您的值为 x 并且您知道x的误差是0.1，你要计算10 * x，结果的误差是10 * 0.1 = 1 ）。现在在您更新的问题中，我看到您只想获得它的近似值，但我想可以考虑尝试计算它。
@Lucas：我说的是 IEEE 浮点规范中的舍入误差，而不是实验测量误差。例如。在我的“编辑”部分，所有这些数字都由 IEEE 双精度数精确表示，但计算机进行的加法计算仍然存在错误。

【解决方案1】：

您需要的是机器 epsilon（您可以计算）而不是最小（denorm）正数：请参阅 http://www.johndcook.com/blog/2010/06/08/c-math-gotchas/ 了解奇怪的命名约定。

一旦你有了机器 epsilon，你就知道（根据 IEEE 标准）任何基本的代数运算 *、+、/、- 的相对误差最多为 epsilon，即 x flop y = (x op y) (1+delta) 其中：

【讨论】：