Bairstow 方法初始二次近似

Question

Bairstow's root finding method 需要非常好的二次因子初始近似值才能收敛。

我尝试了各种常数、随机数、尾随系数中的分数（-a1/a2、-a0/a2；Lin？），但无济于事。

请问，有人知道选择因子的好方法吗？

例如：

1*x^8 + 118*x^7 + 1*x^6 + 2*x^5 - 2*x^4 - 3*x^3 + 3*x^2 + 2*x + 1

使用初始近似值 0.1、0.2 找到根的时间是使用 0.2、2.0 时的 3 倍。

或者：

1*x^8 - 36*x^7 + 546*x^6 - 4536*x^5 + 22449*x^4 - 67284*x^3 + 118124*x^2 - 109584*x + 40320

使用 0.1, 1.2 比使用 0.1, 0.1 需要稍长的时间 (~50%)

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尝试对初始二次近似使用柯西界：

R=0
for i in range(1,n+1):
    R=max(abs(a[i]/a[0]),R)
R=1+R
phi=2*pi*random()
x1=complex(R*cos(phi),R*sin(phi))
x2=complex(x1.real,-x1.imag)
r=-x1.real-x2.real
s=(x1*x2).real

不幸的是，这并不能真正加速收敛。

Answer 1

在我撰写文章并提供图片时，我可以告诉您，您确实不需要那么好的近似值。

如文章中所述，最重要的初始步骤是将多项式减少到偶数次。在那之后，你不能做错了，应该有几乎全局收敛。可以肯定的是，与牛顿方法相同：如果 10 步后没有明显的收敛迹象，则从不同的初始点重新开始。

计算一些外根半径并选择初始二次因子以使根在该半径内当然是明智的。

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请参阅http://catc.ac.ir/mazlumi/jscodes/bairstow.php 源代码中的 javascript 实现，以了解“幼稚”或“普通”但看似健壮的实现。不减少到均匀度，不关心系数/根大小，...

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该示例有效地是单位磁盘内的奇次多项式，其中一个根-117.9917 在虚拟无穷大。对于每一步的初始化，都应该计算外根半径，即“1+max of abs of coefficients”（前导系数 1）版本中的 R=119。然后用x^2-R^2 或phi=2*pi*random(); 和x^2+R^2*cos(phi)*x+R^2*sin(phi) 或类似的东西初始化。