为什么 0.1 + 0.4 = 0.5？

Question

我们知道floating point is broken，因为十进制数不能总是完美地用二进制表示。它们被四舍五入为一个可以用二进制表示的数字；有时这个数字更高，有时更低。在这种情况下，使用无处不在的IEEE 754 double format 0.1 和 0.4 轮高：

0.1 = 0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625
0.4 = 0.40000000000000002220446049250313080847263336181640625

由于这两个数字都很高，因此您预计它们的总和也会很高。完美的添加应该给你0.5000000000000000277555756156289135105907917022705078125，但你会得到一个很好的精确0.5。为什么？

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问题Is floating point math broken? 已在上面确定，但这个问题不同。在考虑该问题的答案时，它要求对非直观结果的进一步详细信息。

Answer 1

这种计算的行为方式是因为加法将结果推入另一个（二进制）数量级。这会在左侧（最重要的一侧）添加一个有效位，因此必须在右侧（最低有效的一侧）减少一个位。

第一个数字0.1 以二进制形式存储为2^-4 == 1/16 和2^-3 == 1/8 之间的数字。第二个数字0.4 以二进制形式存储为2^-2 == 1/4 和2^-1 == 1/2 之间的数字。总和 0.5 是数字 2^-1 == 1/2 或稍大一些。这是数量级的不匹配，可能导致数字丢失。

这里是一个例子，更容易理解。假设我们正在开发一台十进制计算机，它可以在浮点中存储四个十进制数字。假设我们要添加数字10/3 和20/3。这些可能最终存储为

3.334

和

6.667

这两个都有点高。当我们得到这些数字时，我们预计总和也会有点高，即

10.001

但请注意，我们的结果已经进入了一个新的数量级。完整的结果有五位小数，不适合。所以计算机将结果四舍五入到四位小数并得到总和

10.00

令人惊讶的是10/3 + 20/3 的正确答案。

我在美国高中的化学和物理课上经常遇到同样的事情。当计算移动到一个新的数量级时，会发生精确和有效数字的奇怪事情。

Answer 2

虽然大多数十进制数字需要四舍五入以适应二进制，但有些则不需要。 0.5 可以精确地用二进制表示，因为它是 2^-1。

浮点不仅仅是二进制，它的精度也有限。以下是精确的总和以及两侧最接近的 IEEE 754 双重可表示数字：

0.5000000000000000277555756156289135105907917022705078125
0.5000000000000000000000000000000000000000000000000000000
0.5000000000000001110223024625156540423631668090820312500

很明显，精确的 0.5 最接近真实总和。 IEEE 754 有关于简单数学运算的规则，这些规则规定了如何进行结果舍入，您通常可以依赖最接近的结果。