【发布时间】：2016-12-23 10:38:14
【问题描述】：
我必须对具有以下形式的 ODE 系统进行数值求解：
du_j/dt = f_1(u_j, v_j, t) + g_1(t)v_(j-1) + h_1(t)v_(j+1),
dv_j/dt = f_2(u_j, v_j, t) + g_2(t)u_(j-1) + h_2(t)u_(j+1),
其中u_j(t) 和v_j(t) 是时间的复值标量函数t，f_i 和g_i 是给定的函数，而j = -N,..N。这是一个初值问题，任务是在某个时间找到解T。
如果g_i(t) = h_i(t) = 0，则可以独立求解j 不同值的方程。在这种情况下，我借助四阶 Runge-Kutta 方法获得了稳定且准确的解。然而，一旦我打开耦合，结果在时间网格步长和函数g_i、h_i的显式形式方面变得非常不稳定。
我想尝试使用隐式 Runge-Kutta 方案是合理的，在这种情况下它可能是稳定的，但如果我这样做，我将不得不评估大小为 4*N*c 的巨大矩阵的逆矩阵, 其中c 取决于每个步骤的方法顺序（例如，c = 3 用于 Gauss–Legendre 方法）。当然，矩阵大部分会包含零并具有块三对角形式，但它似乎仍然非常耗时。
所以我有两个问题：
是否有一种稳定的显式方法，即使在耦合函数
g_i和h_i（非常）大时也能正常工作？如果隐式方法确实是一个很好的解决方案，那么最快的块三对角矩阵求逆方法是什么？目前我只是执行一个简单的高斯方法，避免了由于矩阵的特定结构而出现的冗余操作。
可能对我们有所帮助的其他信息和详细信息：
我使用 Fortran 95。
我目前考虑
g_1(t) = h_1(t) = g_2(t) = h_2(t) = -iAF(t)sin(omega*t)，其中i是虚数单位，A和omega是常数，F(t)是一个平滑的包络线，首先从0 到1然后从 1 到 0，所以F(0) = F(T) = 0。最初是
u_j = v_j = 0，除非j = 0。函数u_j和v_j的绝对值j对于所有t来说都非常小，因此初始峰值没有达到“边界”。
【问题讨论】：
标签： numerical-methods ode runge-kutta numerical-stability