C 和 C++ 标准的数学精度要求答案

【问题标题】：Math precision requirements of C and C++ standardC 和 C++ 标准的数学精度要求
【发布时间】：2014-01-23 14:41:04
【问题描述】：

C 和 C++ 标准是否要求在 math.h 中对浮点数进行数学运算（即 sqrt、exp、log、sin、...）以返回数值最佳解？

对于给定的（准确且有效的）输入，显然这些函数通常不会有准确的浮点输出。但是输出是否需要是最接近数学精确值的可表示值？

如果没有，是否对精度有任何要求（可能是特定于平台的/在其他标准中？），以便我能够对代码中的计算错误做出最坏情况的估计？现代实现的数值误差的典型限制是什么？

【问题讨论】：

基本没有。 IEEE-754 甚至没有指定其中的大部分。可表示的位数有一些限制，但曾经有一段时间，不稳定的专有浮点实现激增，结果该语言没有指定浮点结果的大部分内容。毕竟是C精神
@doynax: +1 实现甚至不需要遵循 IEEE 754 浮点/双精度规范。
@doynax：你是什么意思 IEEE 754 没有指定其中的大部分？ IEEE 754-2008 表 9.1 推荐 exp、log、sin 等。
@EricPostpischil：看来我已经过时了，只阅读了 IEEE 754-1985。从对 2008 年修订版的粗略阅读看来，这些函数的准确性似乎没有明确，除了一些身份和奇怪的要求，即当且仅当它们不精确时才发出不精确的结果。这似乎处理起来不必要的昂贵。除了指数函数之外，肯定没有人会期待超越函数的确切结果？
@doynax：第 9.2 节，表格出现的地方，说函数应该正确四舍五入。这意味着考虑到舍入模式和格式，误差必须尽可能小；在四舍五入模式中，必须返回最接近的可表示值（打破常规规则）。我同意，这些结果通常不应被期望，除非那些已被证明是可行的（如CRlibm project。见我对MSalter’s answer的评论；这是在委员会后更改的。

标签： c++ c floating-point math.h

【解决方案1】：

不，而且有充分的理由。通常，您需要无限的精度（和无限的时间）来确定确切的数学结果。现在大多数时候您只需要一些额外的迭代来确定足够的位进行舍入，但是这个额外的位数量取决于确切的结果（简单地说：当结果接近 0.5 ULP 时）。即使确定所需的额外迭代次数也非常重要。因此，要求准确的结果比务实的方法要慢得多。

【讨论】：

+1 不错的答案。注意：同意exp(), log(), sin() 之类的函数，但我认为sqrt() 总是可以回答到最接近数学上精确的那个。想知道 IEEE-754 对 sqrt() 的看法吗？
@chux：在CRlbim 中提供了具有合理性能的exp 和log 的正确舍入实现。 sin 可在 [-π, +π] 上正确四舍五入。 IEEE 754 建议使用正确的舍入来实现所有这些和一些其他功能（在表 9.1 中）。在委员会中，我反对这一点，因为其中一些不存在（并且仍然没有）可行的正确舍入实现，并且委员会通过了标准，但没有说它们应该正确舍入，但在委员会后编辑或投票中改变了.
我之前的评论有错字； “CRlbim”应该是“CRlibm”。这是一个非常好的项目，可以实现具有正确舍入和良好性能的数学函数，并带有证明。
谢谢 - 一个令人印象深刻的参考和表格。我的表 9.1 的参考版本暗示了一个推荐的正确舍入的域 sin()/cos() (−∞, +∞)。所以无法承受 K.C. Ng的“Good to the Last Bit”作品，还是（2014）只有[-π, +π]？
为了稍微澄清一下 Eric 对 IEEE-754 的看法，其目的不是建议对 math.h 函数进行正确舍入，而是提供正确舍入的版本，以及可能的版本未正确舍入。