给定一个字符串，计算没有重复（和禁止字符）的字符串的排列数

Question

几个小时以来，我一直在努力解决一个算法问题。

问题的（花哨的）陈述如下：

我们的花园只有一排花。您将获得字符串花园中该行的当前内容。花园中的每个字符代表一朵花。不同的字符代表不同的颜色。相同颜色的花看起来都一样。您可以按照自己喜欢的顺序重新排列花园中的花朵。 （正式地，你可以交换你花园里的任意两朵花，你可以任意多次这样做。）你也被赋予了一个与花园长度相同的字符串。你想将花园重新排列成一个新的字符串 G，它将满足以下条件：

相邻的两朵花不会有相同的颜色。形式上，对于每个有效的 i，G[i] 和 G[i + 1] 必须不同。 对于每个有效的 i，G[i] 不能等于 forbid[i]。 令 X 为满足上述所有条件的不同字符串 G 的数量。计算并返回数字（X 模 1, 000, 000, 007）。

举个例子说明一下：X("aaabbb", "cccccc") = 2 ("ababab" and "bababa")

我一直在尝试计算字符串中有多少个字母（在示例中为 'a'->3、'b'->4），然后递归地计算不同的可能性（如果有重复则跳过或封禁信）。这些方面的内容：

using Map = std::map < char, size_t > ;
Map hist; 
std::string forbid;

size_t countRecursive(std::string s, size_t len)
{
    if (len == 0)
        return 1;

    size_t curPos = s.size() ;
    size_t count(0);

    for (auto &p : hist) {
        auto key = p.first;

        if (hist[key] == 0) continue;
        if (forbid[curPos] == key) continue;
        if (curPos > 0 && s[curPos - 1] == key) continue;

        hist[key]--;            
        count += countRecursive(s + key, len - 1);
        hist[key]++;
    }


    return count;
}

hist 和 forbid 是先前初始化的。但是，这似乎是 n!并且由于 n 可以

我并不是真的在寻找一个完整的解决方案。只是，如果您对我应该如何解决问题有任何建议，我将非常感谢！

Answer 1

我会按如下方式处理它：您的“禁止”字符串与“花园”一样长。这意味着给定一个包含 N 个字符的字母表，每个位置 G[i] 最多可以有 N-1 个可能的字符（因为一个将被禁止）。这为您提供了一个仅受 N 限制的上限。如果该上限小于模数，则可能会导致一些有趣的考虑，但让我们继续前进。

现在一个非常基本的方法是计算组合：如果花园有 K 个字符长，则第一项 G[0] 将有 N-1 种可能性；如果禁止 [1] 不同于 G[0]，则第二个 G[1] 将有 N-2 种可能性，如果禁止 [1] == G[0]，则为 N-1。第三个字符 G[2] 也会有 N-2 种可能性，取决于禁止 [2] 和 G[1]，依此类推。

为了清楚起见：N-2 来自这样一个事实，即在 N-1 种可能性中，必须删除另一个是字符串中它前面的字符的值，除非该字符与当前位置的禁止字符匹配.

所以如果 disabled[i+1] 总是不同于 G[i] 你有 N-1 * N-2 * N-2 * ... * N-2, K 次。这是你的下限。

现在在上限和下限之间有许多字符串，例如禁止[i+1] 仅在第二个位置等于 G[i] ；第二个和第三个；等等。所以你的字符串数是：

N-1 * N-2 * N-2 * N-2 ... K
N-1 * N-1 * N-2 * N-2 ... K
N-1 * N-1 * N-1 * N-2 ... K

以此类推，直到你有一个字符串，其中每个字符都有 N-1 种可能性。

换句话说，

N-1 * (N-2)^K-1
(N-1)^2 * (N-2)^K-2
(N-1)^3 * (N-2)^K-3

你能有多少这些字符串？这取决于 K 有多大，即你的花园有多大 :)

也就是说，假设我正确理解了这个问题。