查找从射线到 3D 贝塞尔曲线的距离

Question

我想知道是否有人知道如何找到从 3D 线段或射线到 3D 三次贝塞尔曲线的最小距离，或者 Unity 游戏引擎中是否内置了任何东西。

Answer 1

计算仿射变换，将射线基点变换为(0,0,0)，方向变为OX

如果光线由基点(rx0, ry0, rz0) 和方向向量(dx, dy, dz) 定义，长度为len（1 表示归一化），那么这个变换的矩阵是：

• 换班(-rx0, -ry0, -rz0) -
• 然后围绕OZ 轴旋转atan2(ry, rx)
• 然后围绕OY 轴旋转acos(dz / len)

将此变换应用于贝塞尔曲线控制点

使用 zer0derivative 方法计算曲线到OX 轴的最小距离（对于函数的最大值和最小值，导数为零）：

写出取决于t的平方距离表达式：

SquaredDist(t) = by'(t)^2  + bz'(t)^2

用dt计算SquaredDist的导数，做方程

SquaredDist' = 0

并针对t解决它。

方程是五阶多项式方程，所以没有解析，只有数值解（或细分方法）。

检查0..1区间内的根，同时分别检查贝塞尔曲线终点和射线起点距离。