精灵椭圆运动

Question

我试图让 2d 精灵以“弧”（半椭圆）而不是直线移动。我有 X 和 Y 的开始和结束位置以及所需的半径。

实现这一点的最佳方法是什么？

Answer 1

您可能希望使用椭圆的参数形式，此处显示的公式

http://en.wikipedia.org/wiki/Ellipse#General_parametric_form

因为你有一个起始pt，一个结束pt，你需要在两端求解t，

然后在 t 中以相对较小的增量从开始到结束。

Answer 2

如果您希望它沿椭圆移动，我所知道的最简单的方法是将 y 值作为时间函数与 sin，并将 x 值作为时间函数与 cos。假设您正在使用 System.currentTimeMillis();，您会将初始时间存储在一个变量中（例如 double startTime = System.currentTimeMillis()），然后在每一帧中，您将通过减去当前时间来获得经过的时间开始时间。 （例如 elapsedTme = System.currentTimeMillis()-startTime）。那么 y 值将是（y 方向上的半径）*sin(elapsedTime*speed) + 椭圆中心的 y 值，x 值将是（x 方向上的半径）*cos(elapsedTime*speed) + 椭圆中心的 x 值。

编辑：如果您有起始 X 和 Y 坐标但没有椭圆的中心，那么我认为获得中心的最简单方法就是找出其余变量，然后将它们代入方程.那里的数学应该不会太难。

Answer 3

我认为这个问题最好通过一系列坐标变换来解决。为了符号简单，我们假设你有两个点是 u 和 v。

假设您在一个非常简单的情况下工作 - 点 u 和 v 分别位于 (1, 0) 和 (-1, 0) 处，椭圆上长轴的长度为 1。然后你只是在画一个半圆。假设您想以恒定速度在点之间进行插值，您可以使用以下公式：

x(t) = cos(pi * t)
y(t) = sin(pi * t)

当然，您不一定有幸处于此设置中，因此我们可以进行一系列坐标变换以使您进入此配置。首先，让我们将点 w 定义为 u = (x0, y0) 和 v = (x1, y1) 之间的中点。那就是：

w = (x2, y2) = ((x0 + x1) / 2, (y0 + y1) / 2)

现在，假设您翻译 u 和 v 以使 w 位于原点。这意味着 u 和 v 沿相反向量与原点等距。如果我们使用矩阵和齐次坐标，那么您可以将其表示为

     | 1  0 -x2 |
 T = | 0  1 -y2 |
     | 0  0   1 |

翻译后u和v的位置由Tu和Tv给出。我们将这些点称为 u' 和 v'。它们是由

u' = (x0 - x2, x1 - y2) = (x0 / 2 - x1 / 2, y0 / 2 - y1 / 2)
v' = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 / 2 - x0 / 2, y1 / 2 - y0 / 2)

我们现在更接近于解决原始问题，但我们遇到的问题是 u' 和 v' 与 x 轴没有很好地对齐，就像它们在原始问题中一样。为了解决这个问题，我们将应用旋转变换，使 u' 以 (1, 0) 结束，而 v' 以 (0, 1) 结束。为此，我们需要建立一个坐标系，其中一个基向量在方向 u' 上，另一个在垂直于它的方向上。为此，我们将按如下方式选择单位向量：

e0 = u' / ||u||
e1 = perp(e0)

其中perp 是垂直于e0 的某个单位向量。一种方法是说如果e0 = (x3, y3)，那么e1 = perp(e0) = (-y3, x3)。您可以验证此向量是否垂直于 (x3, y3)，因为它们的点积为零。

给定这些向量，我们可以定义一个变换，将 (1, 0) 映射到 e0 并将 (0, 1) 映射到 e1

|x3 -y3  0|
|y3  x3  0|
| 0   0  1|

（最后一列是齐次坐标系）

当然，这与我们想要的相反 - 我们尝试从 e0 映射到 (1, 0) 以及从 e1 映射到 (0, 1)。为了得到这个矩阵，我们只需反转上面的矩阵。幸运的是，由于我们选择了e0和e1作为正交矩阵，所以上面的矩阵是正交的，所以它的逆是它的转置：

    | x3 y3 0|
R = |-y3 x3 0|
    |  0  0 1|

现在，如果我们将R 应用于u' 和v'，我们最终会得到向量 (1, 0) 和 (-1, 0)，这就是我们希望它们出现的位置。现在的问题是我们要绘制的椭圆不一定有单位高度。例如，如果我们将其高度称为h，那么我们将绘制一条长半轴h 和短半轴1 的椭圆路径。但这很容易通过另一个坐标变换来纠正，这次将坐标系的高度缩放1 / h，这样我们要追踪的椭圆的高度为 1。这可以通过以下缩放矩阵来完成：

    | 1  0  0 |
S = | 0 1/h 0 |
    | 0  0  1 |

此设置有用的原因是我们知道，如果我们在u 和v 之间的所需椭圆上取任意一点，然后将矩阵SRT 应用于它，那么我们最终会转换它使用单位圆上的对应点，即从 (1, 0) 到 (-1, 0) 的路径。不过，更重要的是，这反过来也行得通。如果我们将SRT 的逆应用于单位圆上的任意一点，我们最终会得到u 和v 之间原始椭圆路径上的对应点！为了达成交易，我们知道如何找到从 (1, 0) 到 (-1, 0) 的路径上的点，因此我们有一个算法来解决这个问题：

1. 对于给定时间t，如果您在时间t 从 (1, 0) 移动到 (-1, 0)，请找到您在单位圆上的位置。叫它p。
2. 计算 p' = (SRT)^-1p.
3. p' 是您要找的地方。

那么，问题是 (SRT)^-1 是什么。幸运的是，我们有 (SRT)^-1 = T^-1R^-1S^-1，并且所有这些矩阵都可以轻松计算：

     | 1  0 -x2 |          | 1  0  x2 |
 T = | 0  1 -y2 |   T^-1 = | 0  1  y2 |
     | 0  0   1 |          | 0  0   1 |

     | x3  y3  0|          | x3 -y3 0 |
 R = |-y3  x3  0|   R^-1 = | y3  x3 0 |
     |  0   0  1|          |  0   0 1 |

     | 1  0   0 |          | 1  0   0 |
 S = | 0 1/h  0 |   S^-1 = | 0  h   0 |
     | 0  0   1 |          | 0  0   1 |

总之，最终算法如下：

1. 给定 u = (x0, y0) 和 v = (x1, y1)，令 w = (x2, y2) = ((x0 + x1) / 2, (y0 + y1) / 2)。
2. 令 u' = u / ||u|| = (x3, y3)。
3. 在时间 t（对于 0 ≤ t ≤ 1），设 p = (cos(π t), sin(π t))
4. 计算 p' = S^-1p = (cos(π t), h sin(π t))
5. 计算 p'' = R^-1p' = (x3 cos(π t) - y3 sin(π t), y3 cos(π t) + x3 sin(π t))
6. 计算 p''' = T^-1p'' = (x3 cos(π t) - y3 sin(π t) + x2, y3 cos(π t) + x3 sin( π t) + y2)
7. 输出 p''' 作为你的观点。

对不起，如果这涉及很多数学问题，但您的答案应该（希望！）由上述程序给出。

Answer 4

我相信您正在寻找贝塞尔曲线，请查看http://www.math.ucla.edu/~baker/java/hoefer/Bezier.htm。来源也可在同一链接中找到。

如果你使用的是SWT，可以查看http://help.eclipse.org/helios/topic/org.eclipse.platform.doc.isv/reference/api/org/eclipse/swt/graphics/GC.html#drawArc(int, int, int, int, int, int)