无法证明为什么 !A&B OR !A&C OR !C&B = !C&B OR !A&C答案

【问题标题】：Can't demonstrate why !A&B OR !A&C OR !C&B = !C&B OR !A&C无法证明为什么 !A&B OR !A&C OR !C&B = !C&B OR !A&C
【发布时间】：2017-01-11 23:08:15
【问题描述】：

我正在开始一门关于布尔逻辑的课程，我得到了我需要证明的这个布尔表达式。经过几个小时的研究，我尝试了 Wolfram Alpha，但与其他方程不同，它没有逐步解释它如何简化较长的表达式。在带有真值表的表达式中也很容易看到 (!A&B) 不是必需的，但我无法证明它。我该怎么做？

表达式：

!A&B OR !A&C OR !C&B = !C&B OR !A&C

还有一个 Wolfram Alpha 输入的链接：Wolfram

提前致谢，祝你有美好的一天。

【问题讨论】：

我投票结束这个问题作为题外话，因为它是关于布尔代数而不是直接关于编程或软件开发。

标签： boolean boolean-logic algebra boolean-expression

【解决方案1】：

这是一个推导

!A&B | !A&C | !C&B
= !A&B&(C | !C) | !A&C&(B | !B) | !C&B&(A | !A)           // x & T = x
= !A&B&C | !A&B&!C | !A&B&C | !A&!B&C | A&B&!C | !A&B&!C  // distributive
= !A&B&C | !A&B&!C | !A&!B&C | A&B&!C                     // x | x = x
= !A&B&!C | A&B&!C | !A&B&C | !A&!B&C                     // commutative
= B&!C&(!A | A) | !A&C&(B | !B)                           // distributive
= B&!C | !A&C                                             // x | !x = T, x & T = x

【讨论】：

【解决方案2】：

有两种方法可以证明这些等式。一个是正式的：找到一系列等式，以达到目标公式。另一种是直观的：理解为什么相等。让我试试后者。

在您的情况下，在重写等式的左侧之后，我们必须证明：

(!C&B OR !A&C) OR !A&B = !C&B OR !A&C

格式为p OR q = p，对吧？

所以问题变成了：p OR q = p？换句话说，当q 什么都不添加到p 时？好吧，如果p 是q 的结果，那么q 不会对p 添加任何内容。如果q -> p（即p是q的结果）那么p OR q = p（请正式证明这一点！）

所以，我们必须证明!C&B OR !A&C 是!A&B 的结果。但这很容易，因为!A&B=true 暗示了A=false 和B=true。所以，如果C=false 我们有!C&B=true，如果C=true 那么!A&C = true。因此，在这两种情况下，我们都有!C&B OR !A&C = true。

【讨论】：