将点均匀放置在球体内的算法

Question

如果我有一个中心 (x,y,z) 和半径 r 的球体，是否存在一种算法来在球体内放置 X 个点 (x,y,z)彼此最大化？

例如一个点将简单地放置在中间，两个点将放置在相对的边界上，三个点将在边界上以“三角形”形式放置等等。

正如已经指出的那样，不能为每个点找到彼此相等的距离。因此，要求是最大化点之间的最小距离。

更新：

以下代码在半径为 1.0 的球体内生成点，但不会最大化距离。

function getPoint() {
    var d, x, y, z;
    do {
        x = Math.random() * 2.0 - 1.0;
        y = Math.random() * 2.0 - 1.0;
        z = Math.random() * 2.0 - 1.0;
        d = x*x + y*y + z*z;
    } while(d > 1.0);
    return {x: x, y: y, z: z};
}

我想我之后需要某种迭代。我尝试使用 n 体问题作为灵感来应用力模型，虽然看起来很有趣，但效果并不好。

Answer 1

刚刚更新，因为我忘记了这个问题：

由于统一方法对于 100 多个点已经足够好，并且由于有人计算了球体上从 1 到 99 点的点位置，因此解决方案是查找 [1:100] 的位置，或者生成点分布均匀。

Answer 2

该问题与packing identical spheres into a unit sphere 密切相关（也许这两个问题甚至是等价的）：将半径为r 的n 球体打包成一个单位球体的解决方案，所有球体中心都在一个球体内半径为1-r，距离至少为2r。因此，将相同球体打包成单位球体的解决方案可以轻松转换为您的问题的解决方案。

经过验证的将相同球体打包成球体的最佳解决方案只存在于n=12。所以我猜你也必须接受接近最佳的解决方案，至少对于n>12。就最优性而言，目前最著名的算法似乎是 Serial Symmetrical Relocation Algorithm for the Equal Sphere Packing Problem.

Answer 3

对于一个随机点均匀分布在圆柱坐标(r,phi,z)的单位球体内，我们有

           int[0,x] 2*r*pi*2*sqrt(1-r^2) dr
P(r < x) = -------------------------------- = 1 - (1-x^2)^(3/2) =: F(x), x in [0,1]
                        4*pi/3

逆函数F^-1(r) = sqrt(1-(1-r)^(2/3))将均匀分布在[0,1]中的随机变量U转换为如上分布为r的随机变量。由于1-U 与U 具有相同的分布，我们可以使用更简单的函数sqrt(1-r^(2/3))。

柱坐标的其他分量phi和z均匀分布在各自的范围内。

因此，我们得到 Python 代码，用于直接生成均匀分布在球内的点，如下所示：

import math, random

def randomUnitSpherePoint():
    # cylindrical coordinates
    rxy = math.sqrt(1 - random.uniform(0, 1)**(2./3.))
    phi = random.uniform(0, 2*math.pi)
    zAbsMax = math.sqrt(1 - rxy*rxy)
    z = random.uniform(-zAbsMax, zAbsMax)
    # cartesian coordinates
    x,y = rxy*math.cos(phi), rxy*math.sin(phi)
    return x,y,z

def randomSpherePoint(center, radius):
    x,y,z = randomUnitSpherePoint()
    return center[0] + r*x, center[1] + r*y, center[2] + r*z

注意：“标准”解决方案（在边界框内生成随机点并在球体内选择点）通常更有效，尤其是在使用伪随机数生成器时。

Answer 4

对于随机但均匀的放置，在球体的边界立方体中绘制均匀的随机点并接受球体内部的点。当你有足够的积分时停止。

如果你想要一个有规律的安排，这个问题要困难得多。