生成分布在单位球面上的点的随机样本

Question

我正在尝试使用 numpy 在球体表面上生成随机点。我已经查看了解释均匀分布here 的帖子。但是，需要有关如何仅在球体表面上生成点的想法。我有坐标（x，y，z）和每个球体的半径。

我对这个级别的数学不是很精通，并试图理解蒙特卡洛模拟。

任何帮助将不胜感激。

谢谢， 帕林

Answer 1

基于the last approach on this page，您可以简单地生成一个由三个标准正态分布的独立样本组成的向量，然后对向量进行归一化，使其大小为1：

import numpy as np

def sample_spherical(npoints, ndim=3):
    vec = np.random.randn(ndim, npoints)
    vec /= np.linalg.norm(vec, axis=0)
    return vec

例如：

from matplotlib import pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d

phi = np.linspace(0, np.pi, 20)
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 40)
x = np.outer(np.sin(theta), np.cos(phi))
y = np.outer(np.sin(theta), np.sin(phi))
z = np.outer(np.cos(theta), np.ones_like(phi))

xi, yi, zi = sample_spherical(100)

fig, ax = plt.subplots(1, 1, subplot_kw={'projection':'3d', 'aspect':'equal'})
ax.plot_wireframe(x, y, z, color='k', rstride=1, cstride=1)
ax.scatter(xi, yi, zi, s=100, c='r', zorder=10)

同样的方法也可以推广到在单位圆 (ndim=2) 或更高维单位超球面上的均匀分布点。

Answer 2

球体表面上的点可以使用两个球坐标表示，theta 和 phi，0 < theta < 2pi 和 0 < phi < pi。

转换公式为笛卡尔x, y, z坐标：

x = r * cos(theta) * sin(phi)
y = r * sin(theta) * sin(phi)
z = r * cos(phi)

其中r 是球体的半径。

因此程序可以在theta 和phi 的范围内以均匀分布随机抽样，并从中生成笛卡尔坐标。

但随后这些点在球体的两极上分布得更密集。为了使点在球面上均匀分布，phi 需要选择为phi = acos(a)，其中-1 < a < 1 是在均匀分布上选择的。

对于 Numpy 代码，它与 Sampling uniformly distributed random points inside a spherical volume 中的代码相同，只是变量 radius 具有固定值。

Answer 3

另一种方式，取决于硬件可能更快。

选择a, b, c 为三个随机数，每个在-1 和1 之间

计算r2 = a^2 + b^2 + c^2

如果 r2 > 1.0（=该点不在球体中）或 r2 a, b, c

否则，您将获得随机点（相对于球心）：

ir = R / sqrt(r2)
x = a * ir
y = b * ir
z = c * ir

Answer 4

在与@Soonts 进行一些讨论后，我对答案中使用的三种方法的性能感到好奇：一种生成随机角度，一种使用正态分布坐标，另一种拒绝均匀分布的点。

这是我尝试的比较：

import numpy as np

def sample_trig(npoints):
    theta = 2*np.pi*np.random.rand(npoints)
    phi = np.arccos(2*np.random.rand(npoints)-1)
    x = np.cos(theta) * np.sin(phi)
    y = np.sin(theta) * np.sin(phi)
    z = np.cos(phi)
    return np.array([x,y,z])

def sample_normals(npoints):
    vec = np.random.randn(3, npoints)
    vec /= np.linalg.norm(vec, axis=0)
    return vec

def sample_reject(npoints):
    vec = np.zeros((3,npoints))
    abc = 2*np.random.rand(3,npoints)-1
    norms = np.linalg.norm(abc,axis=0) 
    mymask = norms<=1
    abc = abc[:,mymask]/norms[mymask]
    k = abc.shape[1]
    vec[:,0:k] = abc
    while k<npoints:
       abc = 2*np.random.rand(3)-1
       norm = np.linalg.norm(abc)
       if 1e-5 <= norm <= 1:  
           vec[:,k] = abc/norm
           k = k+1
    return vec

那么1000分

In [449]: timeit sample_trig(1000)
1000 loops, best of 3: 236 µs per loop

In [450]: timeit sample_normals(1000)
10000 loops, best of 3: 172 µs per loop

In [451]: timeit sample_reject(1000)
100 loops, best of 3: 13.7 ms per loop

请注意，在基于拒绝的实现中，我首先生成了npoints 样本并丢弃了不好的样本，并且我只使用了一个循环来生成其余的点。似乎是直接逐步拒绝需要更长的时间。我还删除了除零检查，以便与sample_normals 案例进行更清晰的比较。

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从这两种直接方法中删除矢量化会使它们进入同一个球场：

def sample_trig_loop(npoints):
    x = np.zeros(npoints)
    y = np.zeros(npoints)
    z = np.zeros(npoints)
    for k in range(npoints):
        theta = 2*np.pi*np.random.rand()
        phi = np.arccos(2*np.random.rand()-1)
        x[k] = np.cos(theta) * np.sin(phi)
        y[k] = np.sin(theta) * np.sin(phi)
        z[k] = np.cos(phi)
    return np.array([x,y,z])

def sample_normals_loop(npoints):
    vec = np.zeros((3,npoints))
    for k in range(npoints):
      tvec = np.random.randn(3)
      vec[:,k] = tvec/np.linalg.norm(tvec)
    return vec

In [464]: timeit sample_trig(1000)
1000 loops, best of 3: 236 µs per loop

In [465]: timeit sample_normals(1000)
10000 loops, best of 3: 173 µs per loop

In [466]: timeit sample_reject(1000)
100 loops, best of 3: 14 ms per loop

In [467]: timeit sample_trig_loop(1000)
100 loops, best of 3: 7.92 ms per loop

In [468]: timeit sample_normals_loop(1000)
100 loops, best of 3: 10.9 ms per loop

Answer 5

（经过编辑以反映来自 cmets 的更正）

我在 2004 年研究了几个常数时间方法来解决这个问题。

假设您在球坐标中工作，其中theta 是围绕垂直轴的角度（例如经度），phi 是从赤道升起的角度（例如纬度）， 然后要在赤道以北的半球上获得均匀分布的随机点，请执行以下操作：

1. 选择theta = rand(0, 360)。
2. 选择phi = 90 * (1 - sqrt(rand(0, 1)))。

要在球体而不是半球上获得点，然后在 50% 的时间内简单地否定 phi。

出于好奇，类似的方法适用于在单位磁盘上生成均匀分布的点：

1. 选择theta = rand(0, 360)。
2. 选择radius = sqrt(rand(0, 1))。

我没有证据证明这些方法的正确性， 但在过去十年左右的时间里，我使用它们取得了很大的成功，并且确信它们的正确性。

各种方法的一些说明（从 2004 年开始）是 here，包括在立方体表面上选择点并将它们归一化到球体上的方法的可视化。